יום חמישי, 26 במאי 2011

שיעור מספר 8: משמעויות החיסור -- המשך


חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם


בשיעור היום נלמד משמעויות נוספות של פעולת החיסור. בשיעור הקודם, שיעור מספר 7, למדנו על משמעויות החיבור ועל שתי משמעויות מתוך שש המשמעויות של החיסור: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה. למדנו על הקשר שיש למשמעויות החיסור הללו בין השלם לבין חלקיו.


מורה: אני מבקש שתמציאו סיפור חשבוני של גריעה על מספרים בגבול העשרת השנייה.
תלמיד: למסיבה הגיעו 18 ילדים. 7 מהם עזבו וחזרו הביתה. כמה ילדים נשארו במסיבה?
מורה: מי זוכר איך אפשר להציג בתרשים את היחסים בין מרכיבי הבעיה?

מורה: יפה. מי יכול לשנות את הבעיה ולהפוך אותה לחיסור של הפרדה?
תלמיד: למסיבה הגיעו 18 ילדים. 7 מהם אכלו סופגניות והיתר אכלו ביסלי. כמה ילדים אכלו ביסלי?
מורה: למה זה חיסור של הפרדה ולא חיסור של גריעה?
תלמיד: כי 7 הילדים לא עזבו את המסיבה. הם אכלו סופגניות.


היום נכיר שתי משמעויות נוספות לחיסור: חיסור של השוואה וחיסור של השלמה לשלם.

חיסור של השוואה:

בעיה: ליואב 7 ספרים ולשירה 12 ספרים. כמה ספרים היו לשירה יותר מיואב?

מורה: אני מבקש שתנסו לחשוב על ההבדלים בין הבעיה הזאת לבין הבעיות שהצעתם בתחילת השיעור לחיסור מסוגים של גריעה ושל הפרדה.
תלמידים: [דיון]
מורה: האם תוכלו להציע מהו השלם בבעיה?
תלמידים: [מציעים הצעות]
מורה: שימו לב! בבעיה זו יש שני שלמים: שלם אחד הוא מספר הספרים שברשותו של יואב והשלם השני הוא מספר הספרים שברשותה של שירה.

נשווה את שני השלמים בעזרת פעולת החיסור.
המלבנים בתרשים מייצגים את השלמים.

התרגיל המתאים: 
והתשובה: לשירה יש חמישה ספרים יותר מיואב.

חיסור של השוואה הוא  חיסור שמשווה את מספר האיברים של שלם אחד למספר האיברים של שלם אחר

מורה: מה מיוחד בחיסור של השוואה?
תלמיד: אין בו שלם וחלקים, אין בו נקודת מוצא. יש בו שתי קבוצות שאנחנו עושים התאמה של כל פריט לכל פריט ומוצאים את ההפרש.

מורה: מי מוכן לנסות להפוך את בעיית החיסור מתחילת השיעור (סופגניות וביסלי, זוכרים?) לחיסור של השוואה?
תלמיד: למסיבה הגיעו 18 ילדים. 7 מהם אכלו סופגניות והיתר אכלו ביסלי. כמה ילדים יותר אכלו ביסלי מאשר אלה שאכלו סופגניות?
מורה: אם נציג את תרשים היחסים בין מרכיבי הבעיה כיצד הוא ייראה?
תלמיד:
מורה: מה עלינו לעשות כדי שנוכל לחשב את ההפרש בין אוכלי הסופגניות לאוכלי הביסלי?
תלמיד: נחשב תחילה כמה אכלו ביסלי.
מורה: כיצד עשינו זאת?
תלמיד: בצענו חיסור של הפרדה.
מורה: מה קרה אחר כך?
תלמיד: אחר כך השווינו את שני השלמים: אוכלי הסופגניות לעומת אוכלי הביסלי.
מורה: איזה חיסור זה היה?
תלמיד: חיסור של השוואה.
מורה: מה היה השלם שבעזרתו חישבנו את אוכלי הביסלי?
תלמיד: 18 הילדים, כל מי שבא למסיבה.
מורה: מהו השלם שבעזרתו חישבנו את ההפרש בין אוכלי הביסלי ואוכלי הסופגניות?
תלמיד: אנחנו משווים שני שלמים זה לזה: (1) אוכלי ביסלי; (2) אוכלי סופגניות. זהו חיסור של השוואה.

[יש עדיין מתקשים בכתה]

מורה: אני מבקש שתסבירו למתקשים באמצעות דוגמה. השתמשו במספרים קטנים, כדי שלכולנו יהיה קל יותר.
תלמיד: יש לי כאן קבוצה של  9 טבעות:

יש לי כאן קבוצה של 7 משולשים:

כמה טבעות יותר ממשולשים יש לי?
מורה: הדוגמה מצויינת. מי יכול להראות לנו איך עושים את ההשוואה?
תלמיד:
אני מותח קו
בין כל פריט
של קבוצת הטבעות
ושל קבוצת המשולשים.
הנה, כך אני עושה את זה:

אני רואה שנשארו שתי טבעות שאין להן משולש חבר. אין בסיפור הזה שלם, אין בסיפור הזה ספירה אחורה, אין בסיפור הזה נקודת מוצא. יש בו רק התאמות בין החברים של קבוצה אחת לחברים של הקבוצה השנייה, ורואים כמה פריטים נשארו ללא חבר.
מורה: יופי. אבל עכשיו כבר התקדמנו ואנחנו יכולים לדעת שלפריטים האלה קוראים: איברים. אנחנו עורכים התאמה בין איברי קבוצה אחת לאיברי הקבוצה השנייה ורואים כמה איברים נשארים ללא ההתאמה הזאת. את מספר האיברים ללא ההתאמה מוצאים על ידי חיסור. זהו חיסור של השוואה.

מורה: מדוע אני מכנה את הפריטים בכינוי איברים
תלמיד: אני יודע שלחלקים של הגוף שלי קוראים: איברים. זאת אותה מילה?
מורה: כן. האיברים של הגוף שלך הם החלקים שבונים את הגוף שלך. כך האיברים של קבוצה הם החלקים הבונים את הקבוצה.

קחו לכם עוד מספר דוגמאות לפתרון בעבודה עצמית:






בעיה: בחדר יש 8 כיסאות ו-11 אנשים. כמה כיסאות פחות מאנשים נמצאים בחדר?
הבא נדון: מה השלם? מה החלקים? מה התרגיל המתאים? ומה התרשים?
[דיון]

בחיסור של גריעה ובחיסור של הפרדה הפעולה החשבונית מתרחשת בין איברי הקבוצה הכוללת - השלם. בחיסור של השוואה החיסור מתרחש בין שני שלמים שלא תמיד יש לאיבריהם כינוי משותף. בדוגמה שלנו: שלם אחד הוא מספר האנשים, והשני הוא מספר הכיסאות.

אנחנו משווים את כמות הכיסאות לכמות האנשים. כמות היא תכונה שאין לה קשר למהויות של העצמים: היא אינה תלוייה בצורתם, בגודלם, בצבעם, בטעמם, בטיבם, בכיוונם או בכל תכונה אחרת שלהם. בגלל אופייה זה אפשר להשוות קבוצות שאין לאיבריהן מכנה משותף, כדי לענות על השאלה שבבעיה מחסרים כיסאות מאנשים. התהליך המתמטי הוא יצירת התאמות בין איברי הקבוצות וחישוב מספר האיברים שאין להם "בן זוג" בהתאמה. לכן, בתרגיל יש רק מספרים טהורים, חסרי כינוי.


חיסור של השלמה לשלם:

הנה בעיה חשבונית:
נעמה רוצה לקנות  עיפרון שמחירו 12 ש"ח וברשותה 7 ש"ח. כמה שקלים חסרים לה כדי שתוכל לקנות את העיפרון?
מורה: האם תוכלו להציע תרשים מתאים לייצוג המידע שמובא בבעיה? חישבו: מה השלם? מה החלקים?
תלמידים: [דיון]
בחיסור של השלמה לשלם נתון השלם ואחד מחלקיו ועלינו לחשב כמה  יש להוסיף לחלק הנתון כדי לקבל את השלם.
כדי לדעת כמה עלינו להוסיף, יש לחשב את ההפרש בין השלם לחלק הנתון.
התרגיל המתאים: 
התשובה המלאה: לנעמה חסרים חמישה ש"ח כדי שתוכל לקנות את העיפרון. 

בחיסור זה נתונים השלם ואחד מחלקיו. עלינו למצוא מהו החלק השני המשלים את החלק הנתון לשלם הנתון

בעיה:
מיטל קנתה ספר שמחירו 46 ש"ח. היו בידה 35 ש"ח. היא הבטיחה למוכר שתתן לו את יתר הכסף למחרת היום. כמה כסף עליה להביא למוכר כדי לכסות את מחיר הספר?
התרגיל: 11 ש"ח  =  35  ש"ח  -  46  ש"ח

החיסור בבעיה זו אינו מתאר תהליך של גריעה, אין כאן הורדה, סילוק, או כל פעולה מסוג של הרחקה מהשלם. אין בבעיה זו הפרדה, במובן של יחסי קבוצה ותת-קבוצות. השלם מורכב משקלים, וחלקיו מורכבים משקלים. כל מרכיבי הבעיה שייכים לאותה קבוצה, יש להם אותו כינוי. זו גם איננה בעיה של השוואה, כי אין כאן שני שלמים שאנחנו משווים את מספר איבריהם.  
בעיה זו שייכת לסוג נוסף של חיסור: חיסור של השלמה לשלם.

בעיה: אביב קנה חוברת עבודה ומחשבון, ושילם 56.50 שקלים. המחשבון עלה 25.30 שקלים. כמה עלתה חוברת העבודה?

מורה: מה היה עלינו לעשות כדי שנוכל לפתור את הבעיה?
תלמיד: לקרוא את הבעיה. לקבוע מה נתון ומה עלינו למצוא.
מורה: מה נתון ומה עלינו למצוא?
תלמיד: נתון השלם וחלק אחד ממנו. עלינו למצוא את החלק השני.
מורה: כיצד נפתור את הבעיה?
תלמיד: נחסר את מחיר המחשבון מהסכום הכולל אותו שילם אביב.
מורה: איזה סוג של חיסור הוא זה?
תלמיד: זהו חיסור של הפרדה.
מורה: למה?
תלמיד:  שני החלקים שייכים לאותו שלם, לכן זה אינו חיסור של השוואה.
מורה: זה טיעון נכון, אבל חלקי. אמרת מדוע אין לפנינו חיסור של השוואה, אבל לא אמרת מדוע זה חיסור של הפרדה. האם לפנינו חיסור של גריעה?
תלמיד: בגריעה יש הרחקה וסילוק החלק מהשלם. זה לא מתאים לבעיה.
מורה: עד עכשיו שללתם את האפשרויות האלה: השוואה וגריעה. האם זה מבטיח שהבעיה שייכת לחיסור של הפרדה? ואולי יש עוד סוג של חיסור?  איך תנמקו את הטענה שלפנינו חיסור של הפרדה?   
תלמיד: נתון השלם, נתון חלק אחד של השלם וצריך למצוא את החלק הנוסף. איננו מורידים, מוציאים, מאבדים וכו' את החלק השני. הוא מצוי לצידו של החלק הראשון, על כן זה חיסור של הפרדה. יש כאן הפרדה של השלם לשני מרכיביו [מחיר החוברת ומחיר המחשבון].  
מורה: עוד רעיונות?
תלמיד: הרי רק עכשיו למדנו על סוג נוסף של בעיות חיסור שם אנחנו עושים חיסור של השלמה לשלם . למשל בבעיה הבאה:
מחיר בגד היה 70 ש"ח. רחל רצתה לקנות אותו. היא נתנה למוכרת 60 ש"ח. כמה כסף עליה להוסיף, כדי שתוכל לקנות את הבגד?
גם בבעיה זו מצויים שני החלקים זה לצד זה.
תלמיד: אני חושב שקוראים לסוג הזה של החיסור חיסור של השלמה לשלם כי צריך לדעת כמה כסף צריכה רחל להוסיף כדי לשלם את כל המחיר. מחיר הבגד הוא השלם, יש לנו חלק אחד מתוך השלם ואנחנו מחפשים כמה עלינו להוסיף לאותו חלק כדי לקבל את השלם.
מורה: איך תדעו כמה כסף עליה להוסיף?
תלמיד: נחסר 60 מ - 70.
מורה: כדי לדעת כמה עליכם להוסיף כדי להשלים את השלם, עליכם לחשב את ההפרש בין השלם לחלק הנתון.    
תלמיד: לדעתי, אפשר לומר שהבעיה של אביב היא השלמה לשלם, כי נתון השלם ונתון חלק אחד ממנו וצריך למצוא את החלק השני שכאשר הוא מצטרף לחלק הראשון מקבלים את השלם.
מורה: אם כך, במה שונה חיסור של הפרדה מחיסור של השלמה לשלם?
תלמיד: אני חושב שבכלל השלמה לשלם וחיסור של הפרדה הם אותו סוג של חיסור.
תלמיד: ואני חושבת שהם דומים, אבל לא בדיוק אותו סוג.
מורה: אולי תסבירו לנו למה אתם מתכוונים?
תלמיד: בשני הסוגים נתונים שלם וחלק אחד ממנו, ועלינו למצוא את החלק החסר. לא לבטל אותו. רק למצוא אותו.
מורה: מה דעתכם?
תלמיד: בשני החיסורים מוצאים את החלק החסר, שמשלים לשלם. בחיסור של הפרדה קובעים תכונה אחת שמבדילה בין שני החלקים של השלם. בחיסור של השלמה לשלם החלק שמשלים חייב להיות דווקא מהסוג של החלק הנתון ושל השלם. צריך להיות להם אותו כינוי.
מורה: אולי תתנו דוגמה על ידי הצגת בעיות מתאימות?
תלמיד: דוגמה לחיסור של הפרדה:
בתיק היו 60 מחברות. חלקן מחברות עברית וחלקן מחברות חשבון. כמה מחברות עברית יש בתיק, אם יש בו 20 מחברות חשבון?
התכונה המבדילה בין שתי הקבוצות היא סוג המחברות: או חשבון, או עברית.
דוגמה לחיסור של השלמה לשלם:
אורך שטיח הוא 12 מ'. פרשו 5 מ' ממנו. כמה מטרים נוספים חייבים לפרוש כדי שכל  השטיח יונח במקומו?
בבעיה הזאת השלם הוא במטרים, החלק הפרוש הוא במטרים ומה שנותר הוא במטרים. הכינוי: "מטרים" משותף לשני החלקים ולשלם.
מורה: אני אסכם את הרעיון שהעליתם: בחיסור של הפרדה יש קבוצה כוללת שמכילה בתוכה שתי קבוצות הנבדלות זו מזו בתכונה כלשהי. אנחנו מחפשים כמה איברים יש בכל קבוצה. בחיסור של השלמה לשלם, גם לשלם וגם לחלקיו יש אותו כינוי בדיוק. אנחנו מוצאים כמה דברים מאותו סוג נמצאים בחלק החסר.
בבעיה של המחברות, הקבוצה הכוללת הייתה: מחברות. הן הופרדו לשתי תת-קבוצות: חשבון ועברית. נאמר לנו כמה מחברות יש בתת-קבוצה אחת [מחברות החשבון], כדי למצוא כמה יש בתת-הקבוצה השנייה [מחברות עברית] ביצענו חיסור של הפרדה.
בחיסור של השלמה לשלם, כמו בשטיח: הקבוצה הכוללת היא המטרים של השטיח, לשתי הקבוצות החלקיות יש אותו כינוי כמו השלם, הן אינן תת-קבוצה.  השלם ושני החלקים הם מאותו סוג.
קבוצה הופכת להיות תת-קבוצה כאשר היא שייכת לקבוצה הכוללת ויש לה בנוסף לכך תכונה המבדילה ביניהן.

הכינוי של הקבוצה הכוללת הוא: 
מחברות.
תת-קבוצה אחת היא:
מחברות חשבון.
תת-קבוצה שנייה היא:
מחברות עברית.


נחזור לבעיה של אביב. לאור מה שאמרנו כאן, איזה חיסור יש לנו בעמוד?
תלמיד: חיסור של השלמה לשלם.
מורה: למה טעינו וחשבנו שזהו חיסור של הפרדה?
תלמיד: כי שני החיסורים דומים מאוד, ולא הכרנו את החיסור כהשלמה לשלם.
מורה: למה זה חיסור של השלמה לשלם?
תלמיד: נתון לנו שלם וחלק אחד ממנו. לשלם, לחלק הנתון ולחלק החסר יש אותו כינוי. אין ביניהם יחסים של קבוצה כוללת ותת-קבוצה, כל מרכיבי הבעיה שייכים לקבוצת השקלים. צריך למצוא את מחיר חוברת העבודה שמשלימה את מחיר המחשבון לשלם, שהוא כל מה ששילם אביב.

הנה סרטון שמדגים בקצרה חזרה על המשמעויות של חיסור של השוואה ושל חיסור של השלמה לשלם:



במפגש הבא נלמד על שני סוגים נוספים של חיסור. אני מציע שתנסו לחשוב האם אתם יכולים למצוא אותם בעצמכם: חשבו על בעיות מהחיים שאנו פותרים בעזרת חיסור שאינן מתאימות לאף אחד מארבע המשמעויות של החיסור שלמדנו עד כה. 

נעזרתי רבות לצורך ההסברים במקורות הבאים ואני ממליץ מאוד להורים ולמורים לקרוא בהם לטובת העמקה ולעיון נוסף:
הקטעים הצבעוניים שמשולבים כתמונות מובאים ברשות מתוך ספרי מתמטיקה יסודית ומתוך מצגת שהכינה גלית מונק על בסיס החומר של תלמה גביש.

המורה,
שלמה יונה



אין תגובות:

פרסום תגובה