יום שישי, 20 באפריל 2012

תיכונים במשולש ואיך למצוא את מרכז הכובד שלו

שיעור מספר 13: תיכונים במשולש

בשיעור שלנו היום נעסוק בתיכונים במשולש. תיכונים במשולש הם סוג אחד מתוך מספר סוגים של קווי לוואי במשולש

קובץ:Circumcentre.svg
מעגל חוסם משולש
(מתוך ויקיפדיה)
למשולשים יש 4 סוגים של קווי לוואי:
  1. תיכונים 
  2. אנכים אמצעיים 
  3. גבהים
  4. חוצי זוויות


לכל אחד מהסוגים יש תכונות משלו.
לקווי הלוואי חשיבות מעשית: 
  • מפגש האנכים האמצעיים הוא גם מרכז המעגל החוסם 
  • מפגש חוצי הזוויות הוא גם מרכז המעגל החסום
  • הגבהים ישמשו אותנו בחישובי שטחים 
  • מעגל חסום במשולש(מתוך ויקיפדיה)
  • התיכונים ישמשו אותנו בהבנת יחסים בין קטעים (להורים ולמורים: מפגש שלושת התיכונים הוא מרכז הכובד של המשולש.)















היום נעסוק, כאמור בתיכונים במשולש.


מה פירוש המילה תיכון בעברית ומה הקשר שלה למושגים שיש בהם את המילה תיכון, כמו למשל, המזרח התיכון או בית ספר תיכון? 
תיכון בעברית משמעותו אמצע או מרכז.
בית ספר תיכון נקרא כך כי זה השלב שבאמצע בין מערכת החינוך הבסיסית: בית ספר יסודי וחטיבת הביניים לבין מערכת החינוך הגבוהה: האוניברסיטה.
הים התיכון נקרא כך משום שהוא בין שלוש יבשות: אסיה ממזרח, אירופה מצפון ואפריקה מדרום.
המזרח התיכון נקרא כך כי כשנטבע המונח האזור היה ממזרח למה שהיה מקובל בזמנו כמרכז העולם, מערב אירופה, אם כך, זאת מערכת ההתייחסות ולכן, מזרח אירופה היתה המזרח ה"קרוב", מדינות יפן וסין היו ב-"מזרח הרחוק" ולפיכך ישראל, סוריה וכו' הן במזרח התיכון.
הגדרה: קטע שמחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו הוא תיכון
כמה תיכונים במשולש?

יש שלושה תיכונים במשולש. לכל זוג של צלע והקודקוד שמולה יש תיכון אחד

נלמד כיצד לשרטט אותם במשולשים מסוגים שונים:

במשולש חד זוויות
  1. שרטטו משולש חד זוויות
  2. בעזרת הבנייה של חציית קטע מצאו את האמצע של צלע אחת במשולש. (היה לנו שיעור שעסק בחציית קטע: שיעור מספר 11)
  3. חברו בקו ישר את נקודת האמצע שמצאתם עם הקודקוד שמול הצלע שחציתם
  4. הקטע הזה הוא התיכון

חזרו על הפעולה הזאת גם לגבי צלעות אחרות. מה גיליתם?
שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת
מסקנה:
במשולש חד זווית שלושת התיכונים נפגשים ב נקודה אחת. נקודת המיפגש נמצאת בתוך המשולש 
במשולש קהה זווית
  1. שרטטו משולש קהה זווית
  2. שרטטו את שלושת תיכוניו
מה אתם יכולים לומר עליהם?
גם במשולש קהה זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש
במשולש ישר זווית
  1. שרטטו משולש ישר זווית ואת שלושת תיכוניו.

במשולש ישר זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת שנמצאת בתוך המשולש
מסקנה כוללת:

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש בין אם הוא חד זוויות או ישר זווית או קהה זווית.
יחסים

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון לשני קטעים. קטע אחד קרוב יותר לקודקוד וקטע שני רחוק ממנו. 
בדקו את היחס בין שני הקטעים האלה במשולש חד הזווית. כיצד? אפשר למדוד את אורך החלקים בסרגל ואפשר להשתמש במחוגה לצורך זה. מי שמשתמש במחוגה מודד בעזרתה את אורך הקטע שסמוך לקודקוד. מנקודת החיתוך של התיכונים הוא מציין פעם אחת על ידי קשת את אורך הקטע שמדד ואחר כך הוא מבחין שפעמיים הקטע הקרוב לקודקוד מוכל בקטע הרחוק ממנו.

התלמידים ימדדו ויתרשמו בשתי הדרכים,  כדי לבסס את מושג היחס. 

מה מצאתם?
הקטע הרחוק מהקודקוד קטן פי 2 מהקטע הקרוב אליו
ייתכנו גם ניסוחים אחרים, כמו:

היחס בין הקטע הקרוב לקודקוד לבין הקטע הרחוק ממנו הוא 2 ל-1 (ונכתוב שהיחס הוא 2:1)
או:
נקודת המיפגש של התיכונים מחלקת כל אחד מהם לשני קטעים כך שאורך הקטע שרחוק מהקודקוד שווה למחצית אורך הקטע שקרוב אליו
חזרו ובחנו את היחס הזה במשולש ישר זווית.
מה מצאתם?
אותו יחס קיים גם בתיכונים של המשולש ישר הזווית
שערו מה יהיה היחס הזה במשולש קהה זווית ובחנו את השערתכם על ידי מדידה.
גם בו נמצא אותו היחס בין חלקי התיכון
נסחו את החוק שמצאתם לגבי נקודת המפגש של התיכונים:

גם במשולש חד זוויות, גם במשולש ישר זווית וגם במשולש קהה זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולשנקודה זאת מחלקת כל אחד מהתיכונים לשני חלקים כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק הרחוק ממנו

סיכום

למדנו היום על התיכון במשולש, כיצד למצוא וכיצד לבנות אותו.
למדנו על מפגש התיכונים במשולש.
למדנו שמפגש התיכונים במשולש מחלק כל תיכון ביחס של 2:1

המורה,

אין תגובות:

פרסום תגובה