יום חמישי, 5 במאי 2011

שיעור מספר 5: המשך נושא הזווית

בשיעורינו הפעם נמשיך לדון במושג הזווית והפעם באופן המדידה של הזווית: מה מודדים וכיצד ואילו שיטות מדידה מקובלות בעולם יש לזווית ומהי השיטה המקובלת בשימוש במערכת החינוך שלנו בארץ.


בשיעור הקודם פתחנו במושג הזווית ודנו בהגדרות מקובלות במילונים ובספרי מתמטיקה למושג הזווית. גילינו שההגדרות המקובלות הללו בעייתיות מאוד וניסינו לקבל תחושה מה נדרש מהגדרה טובה. בסיום השיעור גם נתנו הגדרה טובה יותר ובעייתית פחות לאין שיעור למושג הזווית.


נזכר בהגדרה שלנו לזווית:
נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.










מה איננו מודדים בזווית?
בשיעור הקודם גם הבנו שכאשר אנחנו מודדים את גודלה של זווית איננו מודדים שטח (מה שנרמז מההגדרה הבעייתית של חלק המישור...). חלק המישור שתחום בין שתי שוקי הזווית (ואין זה משנה כרגע מאיזה צד) הוא אינסופי ולכן אין משמעות למדידה שלו מתוך כוונה לקבל מספר בתור תשובה. אם נתייחס רק לשטח שכלוא בין שתי השוקיים ונתייחס לכל שוק כקטע ולא כקרן -- אזי השטח הכלוא יהיה סופי -- אבל אז תהיה לנו בעיה -- לזווית עם שוקיים ארוכות יותר השטח הכלוא יהיה גדול יותר ולזווית עם שוקיים קצרות יותר יהיה שטח כלוא קטן יותר. אין פה שימור של המידה שאותה אנו רוצים למדוד. לכן השטח אינו מה שנמדוד כאשר נרצה למדוד זוויות.

גם איננו מודדים אורך. טעות נפוצה היא לחשוב שהזווית היא הקשת שמותחים כדי לסמן את הזווית בשרטוט ולכן גודל הזוית הוא אורך הקשת -- הרי אורך הקשת יקטן ככל שנסמן אותה קרוב יותר לקודקוד  הזווית  והאורך יגדל ככל שנסמן את הקשת רחוק יותר מהקודקוד של הזווית.

מספרים לנו כבר מכיתות נמוכות בבית הספר היסודי שזוויות מודדים ביחידות שנקראות מעלות. זה אולי צריך לרמוז לנו שאין מדובר כאן ביחידות של אורך וגם שאין מדובר ביחידות של שטח. (על יחידות האורך והשטח וגם הנפח שוחחנו בהרחבה בשיעור מספר 3: ממדים).

אנחנו זקוקים למדידה של משהו שנשמר ושיש לו משמעות.

כדי למדוד אנחנו צריכים משהו קבוע ואחיד.

אז איך מודדים זווית ומה מודדים שם?
לפני כ-3,500 שנה חילקו מעגל ל-360 חלקים שווים. החלוקה נעשתה כמו שמחלקים עוגת יום הולדת עגולה או כמו שמחלקים פיצה עגולה: מהמרכז כלפי חוץ. לכל חלק כזה של המעגל נקרא קשת ולכל חלק כזה מהעיגול נקרא גִזְרה. כל פרוסת עוגה או מנת פיצה היא בעצם גִזְרה כי היא חלק מהעיגול. נבחין כי אורכי הקשתות שמתקבלים מהחלוקה הזאת שווים זה לזה ונשמר מספר הקשתות וגם מספר הגזרות. מספר הקשתות ומספר הגְזרות נשמר גם אם נשרטט מעגל גדול יותר או קטן יותר כרצוננו, ובלבד שלמעגלים הללו יהיה מרכז משותף.

קשת היא חלק מהמעגל. המעגל הוא הקו שסביב לעיגול.
גִזרה היא חלק מהעיגול. העיגול הוא השטח שהמעגל כולא בתוכו.

הרעיון של הקדמונים היה שיש להתחיל את המדידה של הזווית מקודקוד הזווית, שעליו יונח מרכז המעגל המחולק לקשתות.
אנחנו רואים שבין שוקי זווית שנשרטט יש אותו מספר של קשתות או של גזרות ואין זה משנה מהו גודל המעגלים (שמרכזם בקודקוד הזווית) שנשרטט.


יש שימור כמות (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.
אין שימור של גודל (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

מצאנו משהו קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. אם המעגל קטן -- הקשתות קטנות, אם המעגל גדול -- הקשתות גדולות, אבל מספרן נשאר קבוע. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקודקוד הזווית ייתן בחלוקתו את אותה התוצאה.



  • לכל חלק בחלוקה הזאת ל-360 חלקים נקרא מעלה ונסמן 1°=1:360=1/360.
  • חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
  • הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהן.
  • אנחנו מודדים כמות ולא גודל

נראה את המשמעות של העובדות הללו לגבי מכשיר המדידה שבו אנו מודדים זוויות, מד הזווית.

מד הזווית

מורה: הניחו את מד הזווית על השולחן. תארו את מד הזווית.
תלמידים: מד-הזווית מורכב מחצי עיגול. יש עליו מספרים. יש עליו גם קווים.
מורה: הניחו עליו את הסרגל המשולש, כפי שאני מראה לכם. היכן נמצא הקודקוד של הזוית הישרה של המשולש?
תלמידים: באמצע הקו התחתון של מד-הזווית.
מורה: זאת נקודת המוצא שלנו. מניחים את הנקודה הזאת על קודקוד הזווית ואת השוק של הזוית מכוונים כך שהיא תתלכד עם הקו התחתון של מד-הזווית. רואים על איזה מספר עוברת השוק השנייה של הזווית?
תלמידים: השוק השנייה עוברת על שני מספרים, לְמה הכוונה?
מורה: יש שתי סדרות של מספרים: הפנימית והחיצונית. באיזו תשתמשו?
תלמידים: ??
מורה: בתוך מד-הזווית יש הכוונה לקריאה. מהי ההכוונה?
תלמידים: השוק האחת של הזווית מונחת על האפס ומשם קוראים את המידה. ממשיכים לספור מאפס. המספרים במעגל החיצוני אינם מתחילים באפס. לפי הזוית שאנו מודדים נוכל גם להסיק באיזו סדרת מספרים להשתמש.
מורה: הסבירו!
תלמידים: אם הזווית שאותה נרצה למדוד היא חדה ולא קהה אז נצטרך להשתמש בסדרה הפנימית. למשל, עבור הזווית החדה מתאימה מידה של 50 מעלות ולא של 130 מעלות.


כמה שיטות מקובלות ליחידות מידה של זווית:


מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית. במעגל יש 360 מעלות (מספר זה נקבע על פי שיטת הספירה הבבלית), כלומר מעלה היא זווית שגודלה הוא 1/360 של המעגל. סימנה של מעלה הוא °, ולכן ניתן לכתוב "זווית של 90°", במקום "זווית של 90 מעלות".
המעלה נחלקת ל-60 דקות, כלומר דקה שווה לחלק ה-1/60 של מעלה. יחידה זו ידועה גם כ"דקת מעלה" או דקת קשת, וניתן לחלק אותה, אנלוגית לזמן, ל-60 שניות קשת, כלומר שנייה שווה לחלק ה-1/60 של דקה, או לחלק ה-1/3600 של המעלה.
הסימון הפורמלי לדקה הוא גרש ישר - (′). לדוגמה, 15 דקות ייכתבו כך - 15′. אולם, הסימון הנפוץ ביותר הוא הגרש הנטוי המקובל. באופן דומה מסומנת שנייה על ידי זוג גרשיים, לדוגמה 25 שניות ייכתבו כך - 25′′.


רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל - \  \ R (ראו באיור משמאל). כיון שהיקף מעגל הוא \ 2 \pi R, במעגל כולו יש בסך הכל \ 2 \pi רדיאנים.לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.
מעלה שווה 180/π רדיאנים.


  • גראדים (מתוך ויקיפדיה):

הגראד (Grad) היא זווית המתקבלת מחלוקת המעגל ל-400, כך שבכל זווית ישרה ישנן 100 זוויות בנות גראד.
יתרונה של יחידה זו היא הקלות לחשב בה חישובים פשוטים. כך, למשל, אם פניתי בזווית של 117 גראד, בכיוון השעון מצפון, ניתן להבין בקלות כי פני מופנות בזווית של 17 גראדים מן המזרח. מקורה של חלוקה זו של המעגל בצרפת, והיא חלק מן השיטה המטרית. עם זאת חלוקה זו לא התקבלה באופן אוניברסלי, והיא נהוגה רק בענפי התמחות מסוימים כמדידות, או תותחנות ובמקומות מסוימים, במיוחד במקומות שהיו בשליטה צרפתית. בשנות ה-80 וב-שנות ה-90 רוב מחשבי הכיס המדעיים כללו אופציה לחישובים בגראדים. דגמים מאוחרים יותר לא כללו אופציה זו ומאפשרים חישובים במעלות ורדיאנים בלבד.




המורה,
שלמה יונה

אין תגובות:

פרסום תגובה