יום חמישי, 31 במאי 2012

חישובי שטחים




חישובי שטחים


בשיעורים הקרובים נעסוק בחישובי שטחים. שלושה מוקדי עניין שיהיו לנו: המקבילית, המשולש והטרפז ולבסוף גם בעיגול, במעגל, בגזרה ובמקטע. השיעורים הללו יסכמו ויחתמו את פעילות הסדנה לשנת הלימודים הנוכחית.

מקבילית

חישוב שטח המקבילית, כמו שטח יתר הצורות שאינן ישרות זווית, כרוך בהוכחות גיאומטריות. בכיתה ו' מונח הנדבך הראשון של הוכחה כזו. בהמשך הלימודים ניתנות ההוכחות הגיאומטריות ברמתן הפורמלית. בשלב זה של הלמידה הילד מתנסה בתהליך מבלי לעבור את כל שלבי הפורמליזציה הגיאומטרית.

ביחידה הזאת, העוסקת בשטחי צורות שאינן ישרות זווית, התלמיד מתנסה בדרך חשיבה מתמטית של הרחבת תחומו של מושג.

מקבילית

לפנינו מקבילית  ABCD .
כדי למצוא את שטחה עלינו לחשב כמה יחידות ריבועיות יש בתוכה.
איזו בעייה מתעוררת בריצוף המקבילית עם יחידות ריבועיות?
למקבילית יש "פינות" שלתוכן אי אפשר לשבץ יחידות ריבועיות שלמות. אנחנו מודדים שטח על ידי מניין היחידות הריבועיות הכלולות בו. הפינות מקשות על התהליך.
כדי לפתור את הבעייה נוריד שני גבהים, כמו בשרטוט הבא:
הגבהים יצרו מלבן ABHG  .
שטח המקבילית ABCD  שווה לשטח המלבן ABHG .
בדקו זאת על ידי שרטוט מקבילית על גיליון נייר. הורידו שני גבהים , כמו בדוגמא שלפניכם. גזרו את המשולש BHC , הניחו אותו על המשולש ADG .
מה מצאתם?
המסקנה היא שטח המלבן ABHG שנוצר על ידי הורדת שני הגבהים המקבילים של המקבילית שווה לשטח המקבילית ABCD . כלומר אם הורדנו משולש בצידה האחד של המקבילית והוספנו אותו בצידה השני  נקבל מלבן שווה שטח למקבילית.
שטח המלבן הוא :  AG  X  AB   = S  זהו גם שטח המקבילית.
במילים:
שטח המקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובהה.
כותבים זאת כך:

 

  h x   a   =   S
a     מסמן את הגובה של הצלע .
העתיקו את המקבילית ששרטטתם אל נייר אחר.
בחרו את הצלע AD של המקבילית. הורידו ממנו גובה. חשבו את שטח המקבילית לפי:
AD       h  AD  = S
פירושה של הנוסחה: שטח המקבילית שווה למכפלת הצלע AD ב גובה  שלה.
חזרו על אותן הפעולות לגבי הצלע CD . מדדו את CD , מדדו את הגובה שלה. הכפילו אותם. קיבלתם את שטח המקבילית לפי הנוסחה:
CD  h   CD  = S
השוו את התוצאות.
סכמו את מסקנותיכם: כדי למצוא שטח של מקבילית עלינו לכפול את אחת מצלעותיה בגובה שלה. מכפלת צלע אחת בגובהה תתן אותה תוצאה כמו מכפלת הצלע השנייה בגובה שלה.
לתופעה הזאת קוראים במתימטיקה: אינוואריאנטה, למרות דרך החישוב השונה נקבל אותה תוצאה. נושא זה חשוב לתלמידים להבנת המושגים בסיס וגובה במשולש. תלמידים רבים טועים וחושבים שהצלע המאוזנת במשולש היא "בסיס" , כי רבים אומרים ששטח המשולש הוא : "בסיס כפול גובה חלקי שניים."
התלמידים צריכים לדעת ש"בסיס" הוא מושג השייך אך ורק למשולש שווה שוקיים . כמו כן, עליהם לדעת שאין זה משנה איזו צלע כופלים בגובהה, מה שחשוב הוא שלכל צלע גובה שונה ואי אפשר לכפול צלע אחת בגובהה של האחרת ולקבל את השטח המבוקש. בשל כך הודגש בחומר הלמידה הקודם אופיים של הגבהים בכל סוגי המשולשים.     
למדנו , אם כן , ששטח המקבילית שווה ל מכפלת אחת הצלעות בגובה שלה. .
שַעֲרוּ, האם כפל הצלע בגובה שאינו שלה ייתן לנו את שטח המקבילית?
מכפלת צלע בגובה של חברתה לא תתן את שטח המקבילית.
בדקו את השערתכם על ידי מדידה וחישוב. מה קיבלתם?
חייבים להקפיד על מכפלת הצלע בגובה שלה . אם לא שומרים על הכלל הזה אין מקבלים את שטח המקבילית.
פתרו:

1. אורך צלע המקבילית הוא 12 ס"מ. הגובה לצלע הזאת הוא 6 ס"מ. אורך הצלע השנייה הוא 7 ס"מ. חשבו על סמך הנתונים האלה את היקפה של המקבילית, את  שטחה  ואת הגובה השני שלה. 
פתרון:
שטח המקבילית:
a   h x   a   =   S
72 סמ"ר  = 6 X 12
כדאי להציג לפני התלמידים את הכתיבה האלגברית של הכפל. לציין שלפעמים הכפל מיוצג על ידי נקודה ולפעמים אינו נכתב בכלל.
אורך הגובה השני:
bh b=   S
b  7  = 72
b  =  10.28 ס"מ
היקף המקבילית:
38 ס"מ = 2 X ( 7 + 12 )
2. כתבו בעצמכם את הנוסחה המתארת את מציאת ההיקף של המקבילית. השתמשו באותיות הקטנות a,b  לציון הצלעות ובאות הגדולה P לציון ההיקף.
מתן האפשרות לתלמידים להגיע לבד לחוקיות ולנסחה באורח פורמלי מעמיק את ההבנה המתימטית.
הנוסחא:
X (a  +  b )  P
3. היקף המקבילית הוא 26 מ'. צלע אחת שלה היא 8 מ'. מה אורך צלעה השניה?
פתרון:
X (a + 8 ) = 26
(a + 8 ) = 13
a = 5  מ'
מאחר שהתלמידים לא למדו עדיין את עיקרי הטכניקה האלגברית, זה המקום לבנות את התשתית של ההבנה האלגברית.
הסבר המורה:
ש: ניקח את מה שבסוגריים (a + 8 ) כיחידה אחת. אפשר להשתמש בדימוי של שתי כפות ידיים האוצרות בתוכן משהו, והן הסוגריים.  פעמיים היחידה הזאת הם 26 מה ערכה של יחידה אחת?
ת: 13 .
ש: 13 שווה ל  a ועוד 8. כמה שווה ה  a ?
לא מומלץ בשלב זה ללמד את החוקים הפורמליים של פתרון משוואות. הבסיס האינטואיטיבי יסייע לתלמיד בעתיד להבנת החוקיות הפורמלית.
4. שטח המקבילית הוא 32 סמ"ר. גובהה שווה 4 ס"מ. מה אפשר למצוא בעזרת שני הנתונים האלה?
פתרון:
ניתן למצוא את אורך הצלע השייכת לגובה הנתון.
5. צלע אחת של המקבילית היא 6 ס"מ. הצלע השנייה היא 5 ס"מ . איזה מידע ניתן להפיק מהנתונים האלה?
ידוע לנו שצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו , לכן יש לנו ידע על כל ארבעת הצלעות. כאשר נתונים לנו אורכי שתי צלעות סמוכות במקבילית אפשר לחשב את היקף המקבילית.
6. גובה של אחת הצלעות של המקבילית הוא 7 ס"מ. גודל הצלע השנייה הוא 10 ס"מ מצאו את שטחה.
לא פתיר. אי אפשר לדעת את שטח המקבילית אם לא נתון גם אורך הצלע וגם אורך הגובה השייך לה.
7. למה במקבילית אנחנו זקוקים לגובה כדי לחשב את שטחה ואילו במלבן אין זה כך?
במלבן הצלע היא גם הגובה, כי היא ניצבת לצלע השנייה.

משולש

1. נהוג לציין את צלעות המשולש באותיות לטיניות קטנות. בדרך כלל מול קודקוד A מונחת הצלעa , מול קודקוד B מונחת הצלע b ומול הקודקוד C מונחת הצלע c. לפניכם משולש שצלעותיו הן a, b, c  רשמו את נוסחת ההיקף שלו.
P   = + b + c           a

לאור מה שלמדנו, איזו בעייה עלולה להתעורר עם מציאת שטח המשולש?
גם במשולש יש זוויות לא ישרות ונצטרך לתכנן את מדידת השטח ביחידות ריבועיות למרות ה'פינות' .
למדנו למצוא שטח של ריבוע , כי קל למצוא כמה יחידות ריבועיות מוכלות בתוכו.
באותו אופן למדנו למצוא שטח של מלבן.
במקבילית נתקלנו בקושי בגלל זוויותיה שאינן ישרות, על כן הפכנו אותה למלבן שווה שטח ומצאנו את נוסחת השטח.
עכשיו אנחנו כבר יודעים למצוא את שטח המקבילית.
אם נהפוך את המשולש לאחת מהצורות האלה או אם נמצא קשר בינו לבין אחת מהצורות שאנחנו יודעים לחשב את שטחה, נתגבר על הקושי.
כדאי להציג את התהליך הזה בסקיצה:
הצעה:
שרטטו על גיליון נייר משולש חד זווית כלשהו.
העתיקו אותו על אותו גיליון.
גזרו את שני המשולשים החופפים. אפשר לקבל מייד את שני המשולשים החופפים על ידי קיפול הנייר.
הניחו אותם זה לצד זה  כמו בשרטוט שלפניכם.
מה קיבלתם?

המשולש מהווה מחצית  מהמקבילית.  

חזרו על הפעולה הזאת לגבי משולש ישר זווית.
מה קיבלתם?
במשולש ישר זווית המשולש שווה למחצית המלבן .
חזרו על הפעולה הזאת לגבי משולש קהה זווית .
מה קיבלתם?
אותו דבר. המשולש מהווה מחצית המקבילית שנוצרת מהנחת שני משולשים חופפים זה ליד זה.
מסקנה:
שטח המשולש שווה למחצית שטח המקבילית  שיש לה צלע משותפת עם המשולש ואותו הגובה לצלע הזאת.
שטח המשולש שווה למחצית שטח המקבילית שיש לה צלע משותפת עם המשולש ואותו הגובההשייך ל צלע המשותפת.
פתרו:
1. שרטטו משולש כלשהו ובנו את אחד מגבהיו. מצאו את שטחו לפי הנוסחא הבאה:
 
הסבירו את הנוסחא.
שטח המשולש שווה למחצית המכפלה של הצלע בגובה שלה.
העבירו גובה אחר באותו משולש , מדדו אותו וחשבו את שטח המשולש.
חזרו על הפעולות האלה גם לגבי הצלע השלישית.
רשמו את המסקנה המתבקשת.
שטח המשולש שווה למחצית המכפלה של צלע כלשהי בגובה שלה. אפשר למצוא את השטח בעזרת כל צלע של המשולש בתנאי שנכפיל אותה בגובה השייך לה.

אפשר לכתוב את זאת בשפה מתמטית:
2. חשבו את היקפו של משולש שאורך צלעותיו הם: 7 ס"מ8 ס"מ , 9 ס"מ.
התשובה:
ההיקף הוא 24 ס"מ.
3. במשולש שבבעייה (2) הגובה לצלע בת 7 הס"מ שווה 7.5 ס"מ. מה שטח המשולש?
תשובה:
שטח המשולש שווה ל  26.25 סמ"ר.
4. אורך צלע המשולש 5 דצ"מ. גובהה 6 ס"מ. מה ניתן לחשב מנתונים אלה? בצעו את החישוב.

מנתונים אלה ניתן לחשב את שטח המשולש.

הפיתרון:
5 דצ"מ = 50 ס"מ.
שטח המשולש 150 סמ"ר.
5. היקף המשולש הוא 16 ס"מ. אורך צלע אחת שלו הוא 5.5 ס"מ , אורך הצלע השנייה הוא 3 ס"מ. מה אורכה של הצלע השלישית?
פתרון:
7.5 ס"מ  =  8.5  -  16  =  (  3  +  5.5  )  -  16
6. במשולש שבשאלה (5) נתון הגובה 2.5 ס"מ והשטח שהוא 6.875  סמ"ר. לאיזו צלע שייך הגובה הנתון?
פתרון:
מכפלת הצלע בגובהה היא:
13.75  =  2 X 6.875
הצלע המתאימה לגובה הנתון היא:
5.5 = 2.5 : 13.75 
תשובה:
הצלע המתאימה היא 5.5 ס"מ.
7. שטח המשולש 8.72 3 סמ"ר. אורך אחת מצלעותיו 6.2 ס"מ. מהו הגובה לאותה הצלע? מצאו את אורך הצלעות האחרות.
פתרון:
מכפלת הצלע בגובהה:
77.44  = 2 X 38.72
אורך הגובה:
12.49 ס"מ = 6.2 : 77.44
לא ניתן לחשב את אורכן של הצלעות האחרות מהנתונים האלה.
8. היקף מלבן 56.22 ס"מ. אורכו 18.11 ס"מ. מה שטחו?
פתרון:
נחלק את ההיקף ב  2 ונקבל את סכום שתי הצלעות הסמוכות במלבן.
28.11 = 2 : 56.22
נחסיר מ  28.11 את אורך הצלע הנתונה ונקבל :
10 = 18.11  28.11
שטח המלבן:
181.1 סמ"ר = 10 X 18.11
9. היקפו של ריבוע 35.6 ס"מ . מה שטחו?
פתרון:
אורך צלע הריבוע:
8.9 = 4 : 35.6
שטח הריבוע:
תשובה:
שטח הרבוע שווה 79.21 סמ"ר.
10. על צלע הריבוע שבבעייה (9) בנוי משולש ישר זווית ושווה שוקיים שאורך השוק שלו  כאורך צלע הריבוע. מה שטח המשולש?
פתרון:
שטח המשולש הזה הוא מחצית משטח הריבוע, לכן:
שטח המשולש שווה : 39.6 סמ"ר = 2 : 79.21

טרפז

יזכר בסוגי הטרפזים שהכרנו.
שרטטו טרפז שווה שוקיים כלשהו.
שרטטו טרפז ישר זווית כלשהו.
שרטטו טרפז כללי.
נהוג לקרוא לגובה הטרפז לגובה העובר בין שני בסיסי הטרפז.
לפניכם טרפז כללי, לידו שמות חלקיו. העבירו קווים בין שמות החלקים לבין המקום המתאים להם בטרפז.
לפניכם שלושה טרפזים, לידם שמותיהם. מתחו קו בין השמות לבין הטרפזים המתאימים.
איזו בעייה עלולה להתעורר בחישוב השטח של הטרפז?
כמו במקבילית ובמשולש גם בטרפז יש זוויות לא ישרות ומתעוררת אותה הבעייה של מדידה ביחידות ריבועיות .
נסו למצוא פתרונות לקושי שבמדידת שטח הטרפז.
להלן אחת האפשרויות להסבר הנוסחא של שטח הטרפז.
העתיקו על גיליון נייר את הטרפז שלפניכם. קפלו את הגיליון כך שתוכלו לגזור בו זמנית שני טרפזים זהים לזה שהעתקתם.
חצו את השוק AD  או בעזרת סרגל ומחוגה או על ידי מדידה בסרגל.
חברו את הנקודה B עם אמצע AD והמשיכו את הקו עד שייפגש עם המשך הבסיס הגדול.
השרטוט ייראה כך:
גזרו מטרפז אחד מתוך השניים את המשולש ABK .
התאימו אותו למשולש KDM .
מה קיבלתם?
המשולש ABK חופף למשולש KDM והתקבל משולש גדול CBM השווה בשטחו לטרפז ABCD .

חתכנו מהטרפז משולש ABK והוספנו לו משולש החופף לו KDM    .
מסקנה:
שטח הטרפז ABCD שווה לשטח המשולש BMC  .
שטח משולש שווה לצלע כפול הגובה שלה חלקֵי 2.
   
כאשר גזרתם את המשולש BAK , שמתם בוודאי לב לעובדה ש : DM  =  AB  .
AB הוא הבסיס בקטן.
שטח המשולש CBM  שווה ל  CM כפול הגובה h    חלקי 2.
CM = AB  +  CD , כלומר : סכום הבסיסים.
מכאן ששטח הטרפז = למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה .
הנוסחא תראה כך:

a    מציין את הבסיס הגדול.
  b מציין את הבסיס הקטן.
 h מציין את גובה המשולש הגדול , שהוא גם גובה הטרפז.

נסו לחפש דרכים אחרות להוכחת הנוסחא.

פתרו:
1. מה שטחו של טרפז שאורך בסיסו הגדול הוא 10 ס"מ. אורך בסיסו הקטן הוא 6 ס"מ וגובהו הוא 5 ס"מ?
פתרון:
רשמו תחילה את הנוסחא , הציבו בה את המספרים הנתונים ופתרו את התרגיל.
תשובה:
שטח הטרפז 40 סמ"ר.

2. נתון שטח הטרפז: 132 סמ"ר. אורך הבסיס האחד שלו 10 ס"מ. גובהו 11 ס"מ. מה אורכו של הבסיס השני?

אורך הבסיס השני: 14 ס"מ
3. הבסיס הגדול בטרפז: 15 דצ"מ , הבסיס הקטן : 8 דצ"מ , השטח: 230 דצמ"ר . מהו גובהו של הטרפז?
גובה הטרפז הוא 20 דצ"מ.
5. בגן ציבורי תכננו ערוגה בצורת טרפז. כדי לשמור על הצומח בה גדרו אותה. בסיס אחד של הטרפז היה באורך של 9 מ', הבסיס השני באורך של 7 מ'. שוק אחת של הטרפז הייתה 4 מטר, השוק השנייה הייתה 3.5 מ'. מה היה אורך הגדר?
פתרון:
היקף הערוגה היה  24.5 מ' = 3.5 + 4 + 7 + 9

6. מה שטחו ומה היקפו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 6 ס"מ וגובהו 5.2 ס"מ?
פתרון:
היקף המשולש: 18 ס"מ = 6 X 3
שטח המשולש:
סמ"ר
7. אורכו של מלבן 8.9 ס"מ רוחבו שווה למחצית אורכו. מה היקפו ומה שטחו?
פתרון:
הרוחב: 4.45 ס"מ = 2 : 8.9
ההיקף: 26.7 ס"מ = 2 X ( 4.45 + 8.9 )
השטח: 39.6 סמ"ר = 4.45 X 8.9

בתרגילי החישובים בהנדסה אפשר לעגל מספרים. לדוגמא: תוצאת הכפל של 4.45 ו  8.9 היא 39.605. הפותרים מחליטים על רמה מסויימת של דיוק ופועלים לפיה. אפשר לעגל את 39.605 ל - 39.6 או אפילו ל - 40. זוהי פעולה הנלמדת במקביל להוראת עיגול המספרים בחשבון בעת שימוש במחשבון.
הערה חשובה מאוד!
המבדקים הבינלאומיים הראו במובהק שמדינות שבהן המחשבון נכנס לשימוש מאוחר הצליחו יותר מהמדינות שבהן הוקדם השימוש במחשבון.
עם זאת, ניתן להתחיל בשימוש במחשבון החל בכיתה ו', ולעשות בו שימוש מוגבל ומושכל. עיגול תוצאות של פעולות במחשבון, כמו בתרגיל (7) יכול להיעשות במסגרת הלימוד המושכל של המחשבון. הוצאת שורש המתבקשת בתרגיל (8) יכולה להיעשות רק באמצעות המחשבון, כי התלמידים אינם יודעים כיצד לחשב הוצאת שורש כזה. שימוש כזה במחשבון ייעשה בתנאי שהתלמיד מבין היטב את המשמעות של הוצאת שורש.
8. שטחו של מגרש ריבועי הוא 2 דונם. מה אורכו? תנו את תשובתכם במטרים.
פתרון:
2 דונם = 2000 מ"ר.
אורך הצלע:                               
תשובה: אורך המגרש הוא 44.72 מ'.

9. שטחה של מקבילית 36 סמ"ר. גובהה 4 ס"מ. מה אורך צלעה?
פתרון:
9 ס"מ = 4 : 36

10. שטח מלבן 78.45 דצמ"ר . רוחבו 5.2 ס"מ. מה אורכו?
פתרון בעיה זאת מזמן שיחה על הצורך ביחידות משותפות לצורכי החישוב. אפשר להפוך את כל היחידות לדצ"מ ולדצמ"ר או להפוך אותן לס"מ ולסמ"ר.
פתרון:

5.2 ס"מ = 0.52 דצ"מ

150.9 דצ"מ = 0.52 : 78.45
תשובה: אורך המלבן שווה 150.9 דצ"מ.

שיחת סיכום על תהליך החשיבה

ש: איך מצאנו את שטח הריבוע?

ת: מצאנו כמה יחידות ריבועיות מכיל הריבוע.

ש: איך עשינו זאת?
ת: מצאנו כמה סמ"ר יש בשורה אחת, מצאנו כמה שורות יש. כפלנו את מספר השורות במספר היחידות בשורה אחת וקיבלנו כמה סמ"ר מכסים את פני השטח.
ש: היחידות הריבועיות הן רק סמ"ר?
ת: לא. יכול להיות שנמדוד שטח ביחידות ריבועיות אחרות, למשל מטר מרובע.
ש: איך מדדנו את שטחו של מלבן?
ת: בדיוק באותו אופן.
ש: מה קרה כשמדדנו שטח של מקבילית?
ת: שם נתקלנו בקושי, בגלל הזוויות שלא היו ישרות.
ש: ומה עשינו?
ת: הפכנו את המקבילית למלבן השווה לה בשטחו. את שטח המלבן אנחנו יודעים למדוד כי ניתן לחשב כמה יחידות ריבועיות הוא מכיל.
ש: מה עשינו אחר כך?
ת: למדנו איך לחשב את שטח המשולש.
ש: איך הגענו לנוסחת השטח של המשולש?
ת: את המשולש הפכנו למקבילית הגדולה ממנו פי 2.
מ: שימו לב לתהליך. הריבוע היה הבסיס, את המלבן הפכנו לריבוע שאת שטחו אנחנו יודעים לחשב. את המקבילית הפכנו למלבן שאותו הפכנו לריבוע שאותו יודעים לחשב.
את המשולש הפכנו למקבילית שאותה הפכנו למלבן שאותו הפכנו לריבוע שאותו אנחנו יודעים לחשב,
ועכשיו, מי יכול להמשיך את הרעיון?
ת: את הטרפז הפכנו למשולש. את המשולש הפכנו למקבילית, את המקבילית הפכנו למלבן ואת המלבן הפכנו לריבוע שאותו אנחנו יודעים לחשב.
מ: זה תהליך חשיבה המאפיין את המתימטיקה. כאשר מתימטיקאי נתקל בבעייה שהוא מתקשה לפתור, הוא מנסה להפוך אותה לבעייה מוכרת שכבר יודעים את פתרונה. אם הוא מצליח - הוא סיים את מלאכתו.
 זה התהליך שאנחנו עברנו:

ש: ננסה ליישם את העיקרון הזה בצורות  הבאות. הציעו דרכים למציאת שטחן.


עידוד התלמידים להציע דרכים שונות למציאת שטחים מעורר יצירתיות המתבססת על חוקיות מתימטית.

הדיון בכיתה:

ש: ראינו שיש כמה אפשרויות לחלוקת צורות חדשות לצורות ידועות לנו ואז אפשר למצוא את שטח הצורות ומכאן להגיע לשטח הצורה החדשה.
מתי כדאי לנו להשתמש בהצעה הראשונה?
ת: כדי למצוא את שטח המתומן לפי הצעה (1) אנחנו חייבים לדעת את  אורכה של צלע המתומן, שהיא גם הבסיס הקטן של הטרפז, את אורך גובה הטרפז ואת אורך האלכסונים המהווים בסיסים גדולים לטרפזים שנוצרו.
עם נתונים אלה נוכל לחשב את שטח 2 הטרפזים ואת שטח המלבן.
ש: מה הנתונים הנדרשים לחישוב השטח לפי הצעה (2)?
ת: כדי לפתור בדרך השנייה נצטרך לדעת את כל הנתונים שנדרשו ל  (1) וגם את צלע הריבוע הפנימי.
ש: מה דעתכם על ההצעה השלישית?
ת: מספיק שנמצא שטח של משולש אחד ואז נכפול ב  8 .
ש: איך נמצא את שטח המשולש?
ת: צריך לדעת את אורך צלע המתומן ואת הגובה של משולש אחד.
ש: איזו משלושת הדרכים נראית לכם כיעילה ביותר?
ת: לפי דעתי, ההצעה השלישית דורשת פחות נתונים והיא יותר פשוטה.
ת: אני חושב שהתשובה תלוייה בנתונים שבידינו.
בשלב זה אפשר לתת לתלמידים לחשב את שטח המשושה הנתון בדרך הנראית להם כנוחה ביותר. את הנתונים יפיקו התלמידים מהשרטוטים שלפניהם על ידי מדידה בסרגל.
אפשר להציג לתלמידים צורות לא משוכללות. לבקשם שיציעו דרכים לחישוב השטחים.

לדוגמא:
התלמידים יפיקו את הנתונים על ידי מדידת הקטעים הדרושים לחישוב.
חשוב שהלומדים יבצעו גם חישוב של מצולע קעור כמו:


המעגל והעיגול

שרטטו מעגל כלשהו.
ציינו את הנקודה המרכזית שלו.
העבירו קוטר.
מדדו את הקוטר.
קחו חוט ומדדו באמצעותו את אורך המעגל.
חשבו את היחס בין אורך המעגל לאורך הקוטר.
שרטטו מעגל בקוטר אחר. חזרו על אותן הפעולות.
חזרו על הפעולות האלה לגבי מעגלים שונים.
מה גיליתם?
היקף העיגול שווה קצת יותר מ  3 קטרים.
היחס בין המעגל לבין קוטרו הוא יחס קבוע.
   קטרים שווים להיקף העיגול.
זהו יחס שאינו ניתן לביטוי מדוייק כשבר עשרוני.
נהוג לציינו בקירוב: 3.14  .
הפכו את המספר        לשבר עשרוני. מה קיבלתם?
קיבלנו מספר מעורב עשרוני אינסופי .
המספר שהתקבל יהיה 3.1428571  ואפשר להמשיכו אחרי הנקודה. יש לחזור על הנושא של עיגול המספרים ולציין שנהוג לעגל מספר זה עד שתי ספרות אחרי הנקודה, כלומר, 3.14 .  
3.14 הוא מספר טהור מסמנים אותו באות היוונית  Л  .
שמה של האות היוונית : פַּיְי
נסמן את הקוטר של המעגל באות הלטינית K .
נוסחת המעגל תהיה:
K Л = P
ידוע לנו שהקוטר שווה לשני  רדיוסים.
נבטא את היחס הזה בנוסחא:       R  2  =  
נציב את היחס הזה בנוסחת ההיקף של העיגול ונקבל:
R  Л = P
בנוסחות נהוג לציין את המספר בראש הנוסחה ולקרוא לו : מְקַדֵּם.
הנוסחא תהיה:

Л R 2  =   P
במקום לומר 2 כפול פיי כפול R , אומרים בקצרה:" שְנֵי פַּיְי R ".
המורה חוזר ומזכיר את החוקיות האלגברית.
זיכרו:
שתי אותיות סמוכות ללא כל סימן ביניהן מציינות כפל ביניהן. הוא הדין ביחס למספר ולאות.
אפשר למצוא את אורך המעגל , שהוא היקף העיגול, אם נתון המחוג ( הרדיוס) של המעגל ולהיפך.
דוגמאות:
דוגמא ראשונה:
נתון : = 8 ס"מ.
מצאו את ההיקף.
Л R 2  =   P
8  x    3.14  x  2  =  P
50.24  ס"מ =  P
תשובה: היקף העיגול שווה 50.24 ס"מ.
דוגמא שנייה:
נתון : היקף העיגול 42.5 ס"מ.
מצאו את רדיוס העיגול.
Л R 2  =   P
R    3.14    2  =  42.5
R  6.28  =  42.5
R  =  6.28  :  42.5
R  = 6.76
מחוג העיגול שווה 6.76 ס"מ.

שטח העיגול

מה הבעייה שמתעוררת במדידת שטח העיגול?
אי אפשר לשבץ בו יחידות רבועיות. .
כדי להתגבר על הבעיה של חישוב שטח עיגול נחלקו לגזרות דקיקות. התלמידים יבצעו את המהלך בעצמם.
לפניכם עיגול המחולק לגזרות שוות.
העתיקו אותו לגיליון נייר.
גזרו את הגזרות וסדרו אותן זו ליד זו
כך שהרדיוסים יתלכדו והקשתות
יהיו פעם לכיוון אחד ופעם לכיוון
ההפוך.
הדביקו אותן בדרך זו.
המשיכו בפעולתכם עד שכל הגזרות תסודרנה זו ליד זו.
נסו לדייק בגזירה.  
איזו צורה שאתם מכירים דומה לצורה שיצרו הגזרות?
מלבן .
דמיינו  שהגזרות כל כך קטנות עד שהקשת בקצותיהן היא כמעט קו ישר.
איזו צורה נקבל?
מלבן .
איך מוצאים את שטחה?
את שטח המלבן מוצאים על ידי הכפלת האורך ברוחב .
מה אורכה ומה רוחבה?
הצורה שקיבלנו דמויית מלבן. אם הגזרות מאוד מאוד קטנות נקבל כמעט מלבן שאורכו מחצית היקף העיגול. הסבר למה :
מחצית מהגזרות מסודרות בכיוון אחד, המחצית השנייה בכיוון ההפוך. כל הקשתות ביחד הן היקף העיגול, אז אורך המלבן שהתקבל הוא מחצית ההיקף.
רוחבו של המלבן הוא מחוג המעגל.
השטח שנקבל יהיה:
מחצית היקף העיגול כפול הרדיוס.
מחצית היקף העיגול היא  r   π  .
מכפלת מחצית ההיקף ברדיוס היא       
מכאן, נוסחת שטח העיגול היא:

במילים:
שטח העיגול שווה לפּיי כפול הרדיוס בריבוע.
לפי החוקים של סדר הפעולות, כשנתון הרדיוס ומחפשים את השטח,  קודם עלינו
ל העלות בריבוע ואחר כך ל כפול .
דוגמא:
מצאו את שטח העיגול  שרדיוסו 4 ס"מ.
 
 
שטח העיגול הוא : 50.24 סמ"ר.
פתרו את התרגילים הבאים:
1. מצאו את שטחו ואת היקפו של עיגול שאורך מחוגו 7 מ"מ.
פתרון:
השטח:
153.86 ממ"ר = 49 X 3.14
ההיקף:
43.96 מ"מ = 7 X 3.14 X 2
2. היקפו של עיגול 31.4  ס"מ. מה שטחו?
מההיקף נקבל את הרדיוס: 
r                 P =  2 π
r  6.28   =   31.4
r    =  5  ס"מ.
השטח:
78.5 סמ"ר = 25 X 3.14
3. שטחו של עיגול 28.26 סמ"ר . מה היקפו?
הערה
ציון הרדיוס יכול להיעשות ב -  קטן או ב - R גדול. מרבית הספרים מציינים את ההיקף באות P, בגלל המילה PERIMETER = היקף , אך יש מספר ספרים שמסמנים את ההיקף באות H בגלל המילה העברית: היקף. לכן בחישוב שלעיל נשאר הסימון H.
4. מצא את היקפו ואת שטחו של עיגול שקוטרו 2 מ'.
ההיקף:
6.28 מ'.
השטח:
12.56 מ"ר.
5. בגן ציבורי סידרו מערך של ערוגות עגולות . במרכז המערך  ערוגה שקוטרה 8 מטר. מסביב לה 5 ערוגות שקוטרן 2 מטר.
חשבו את השטח הכולל של כל הערוגות במערך.
פתרון:
שטח הערוגה הגדולה:
200.96 מ"ר = 64 X 3.14
שטח כל הערוגות הקטנות:
62.8 מ"ר = 5 X 4 X 3.14
השטח הכולל של כל הערוגות:
263.76 מ"ר = 62.8 + 200.96
הקיפו כל ערוגה בגדר, מה אורך הגדרות כולן?
פתרון:
היקף הערוגה הגדולה:
25.12 מ' = 8 X 3.14
היקף כל הערוגות הקטנות:
31.4 מ' = 5 X 2 X 3.14
אורך הגדר:
56.52 מ' = 31.4 + 25.12
6. פי כמה גדול שטחו של עיגול שרדיוסו 10 ס"מ מעיגול שרדיוסו 2 ס"מ?
פתרון:
יחסי הרדיוסים נותנים את קנה המידה.
קנה המידה הוא:
                  5  :  1
אז יחסי השטחים הם:
                 25 : 1
תשובה: שטח העיגול הגדול גדול פי 25 משטח העיגול הקטן.

7. פי כמה גדול היקפו של עיגול שמחוגו 12 ס"מ מהיקפו של עיגול שמחוגו 4 ס"מ?
פתרון:
יחסי המחוגים הם:
            3  :  1
היקפו של העיגול הגדול הוא פי 3 מהיקפו של העיגול הקטן, כי יחסי האורכים הם לפי קנה המידה.


8. איזו מסקנה ניתן להסיק מבעיות (6) ו  (7).
יחסי ההיקפים הם כיחסי
הקטרים.
יחסי השטחים הם כריבוע
יחסי הקטרים.

גיזרה

השטח השחור הוא גזרה.
מומלץ להפעיל את התלמידים בתהליך ההגדרה. לשרטט על הלוח גזרה ולבקש שיגדירו מה הם רואים. רק אחר כך לאשר את הגדרתם, או לתקנה, לאור ההגדרה שבחוברת התלמיד.
הגדרה:
השטח הכלוא בין שני רדיוסים נקרא גזרה.
נהוג לסמן זוויות באותיות יווניות:
α        אַלְפָא ,  
     β   בֵּיתָא ,   
γ       גָמָא ,
δ      דֶלְתָא.
היחידה שנקבעה למדידת הזווית היא מעלה =    0 1  והיא 1/360 מהעיגול.

 הגדרה:
זווית הכלואה בין  2 רדיוסים נקראת זווית מרכזית.
חשבו מהו שטח הגזרה הנמצאת בעיגול שרדיוסו 7 ס"מ והזווית המרכזית השייכת לגזרה
 היא 0 40 .
בבעייה זו על הלומד לשלב עקרונות שנלמדו בחשבון  מציאת החלק מהשלם, בעקרונות שנלמדו בהנדסה  חישוב שטח העיגול.
שטח העיגול הוא השלם.
העיגול מחולק ל       0  360 .
שטח גזרה בת מעלה אחת שווה לשטח העיגול מחולק ב  360.
כדי למצוא שטח גזרה בת 0 40 , עלינו לכפול את התוצאה ב  40.  
נסמן את הזווית הכלואה בין שני המיתרים שבשרטוט באות היוונית  α .
נוסחת שטח העיגול:
  
עלינו לחלקו ל  360 חלקים כדי למצוא שטח של מעלה אחת, ולכפול  ב  α כדי למצוא שטח של αמעלות.
הנוסחא של מציאת שטח הגזרה תהיה, אם כך:
שילוב עקרונות מתחומים שונים מביא לגיבוש החומר ולהבנה מעמיקה יותר של החשיבה המתימטית.
הגדרה:
קשת הוא חלק המעגל הכלוא בין שני רדיוסים.
מידת ההבנה של העקרונות תיבחן על ידי התרגיל הבא, אותו יפתרו התלמידים ללא סיוע מצד המורה:
מצאו את אורך הקשת הכלואה בין שוקי זווית מרכזית בת   52  במעגל שמחוגו הוא 7 ס"מ.
התלמידים צריכים לדעת שהשלם הוא היקף העיגול ( = אורך המעגל) , יש לחלקו ב  360 כדי לקבל אורך של קשת בת מעלה אחת ולכפול את התוצאה במספר המעלות של הזווית המרכזית השייכת לקשת.

מיקטע

החומר על המיקטע הינו בעל דרגת קושי גבוהה והוא נועד לתלמידים מתקדמים.
תהליך דומה ייעשה בשטח מיקטע ובהיקפו.
לפניכם עיגול. החלק השחור שבו הוא מִקְטָע.
הגדרת המיקטע:
 מיקטע הוא חלק העיגול הכלוא 
בין מיתר ובין הקשת השייכת לו.


הציעו דרכים לחישוב היקף המיקטע ושטחו.
רמז:
התבוננו בשרטוט הבא:                                                         

תהליך ההוראה המומלץ:
להציג את המיקטע על הלוח, לשיים אותו ולבקש מהילדים להגדירו.
דוגמא:
ש: מה ציירתי על הלוח?
ת: עיגול ובתוכו חתיכה שצבעת.
מ: לחתיכה הזאת קוראים: מיקטע. לְמה מרמז השם?
ת: השורש של מיקטע הוא קטוע. השם מרמז שקטענו חלק מהעיגול. חתכנו חלק ממנו.
ש: במה שונה המיקטע מהגזרה?
ת: הגזרה זה חלק מהעיגול שכלוא בין 2 רדיוסים. הרדיוסים האלה יוצאים ממרכז המעגל. במיקטע יש מיתר ולא רדיוס, הוא לא יוצא ממרכז המעגל.
ש: לאן מגיע המיתר?
ת: שני הקצוות של המיתר מגיעים לקצוות של קשת.
ש: מי מוכן להגדיר מה זה מיקטע?
לאחר שהתלמידים מגיעים בעצמם להגדרה אפשר להתחיל לעבוד על המשימה הבאה.
כדי לחשב שטחו של מיקטע יש לחשב את שטח הגזרה השייכת למיקטע. אחר כך את שטח המשולש הכלוא בין הרדיוסים ובין המיתר. ההפרש ביניהם ייתן את שטח המיקטע.
כדי לחשב את היקף המיקטע צריך למצוא את אורך הקשת הכלואה בין קצות המיתר ולחבר את אורך המיתר.
הרמז הניתן בחוברת התלמיד בא לעורר את התלמידים לחפש פתרונות תוך הסתמכות על חוקיות שנרכשה בעבר.
פתרו את התרגיל הבא:
מהו ההיקף של מיקטע שהזווית המרכזית שלו היא   , אורך הרדיוס של המעגל הוא 5 ס"מ, הגובה למשולש שנוצר בין המיתר לרדיוסים הוא 3 ס"מ ואורך המיתר הוא 8 ס"מ? מצאו את שטחו של המיקטע.
מבלי להיכנס לחישובים של זוויות אפשר להסביר לילדים שכל מעלה מחולקת ל- 60 דקות. זו הזדמנות להציג את שימושי המחשבון בטיפול בזוויות.
' 15 הן 1/4 מעלה. אם נקיש 106.25 , אחר כך נקיש על הכפתור המסומן
ב :  , שהוא מקש הזוויות , נקבל את גודל הזווית במעלות ובדקות. אם נקיש 106 אחר כך נקיש על הכפתור המסומן ב :   , נקיש את הדקות ונקיש שוב על הכפתור הזה  נקבל את גודל הזווית ביחידות עשרוניות שנוח יותר לעבוד איתן.  
אפשר גם לבצע את התהליך ההפוך להקיש את המספר העשרוני של הזווית , להקיש על מקש ה INV  להקיש על מקש הזוויות  נקבל את גודל הזווית בביטוי של מעלות ודקות. 
תיזכורת!
החישובים בתרגיל זה נעשים במסגרת ההכשרה של התלמידים לשימוש מוגבל ומושכל במחשבון. בשום פנים ואופן איננו ממליצים על שימוש במחשבון לפני כיתה ו', וגם אז רק במידה מוגבלת.
פתרון:
חישוב ההיקף:
חישוב אורך הקשת לפי נוסחת הקשת:
    
נחבר לקשת את אורך המיתר ונקבל את היקף המיקטע:
17.27 ס"מ = 8 + 9.27
חישוב השטח:
שטח הגזרה לפי הנוסחא:
שטח המשולש הכלוא בין הרדיוסים לבין המיתר, לפי נוסחת שטח המשולש:
שטח המיקטע:
11.17 סמ"ר = 17  23.17





המורה,

* אני משתמש בחומרי הלימוד מספר ההנדסה של תלמה גביש בעידודה ובאישורה



אין תגובות:

פרסום תגובה