אנכים אמצעיים במשולש ו-איך למצוא את מרכז המעגל החוסם

מעגל חוסם משולש
מתוך ויקיפדיה

שיעור מספר 14: אנכים אמצעיים במשולש ו-איך למצוא את מרכז המעגל החוסם

בהמשך לעיסוקינו בקווי הלוואי שבמשולש בשיעורינו היום נעסוק באנכים אמצעיים במשולש ובפרט:

• מהם אנכים אמצעיים?
• כיצד בונים אנכים אמצעיים? 
• מה עושים באנכים אמצעיים? 
• מהו מעגל חוסם? 
• כיצד בונים מעגל חוסם?

בניית אנך אמצעי לקטע
מתוך: ויקיפדיה

אנכים אמצעיים

את האנך האמצעי ואת אופן בנייתו פגשנו כבר בשיעור מספר 11. ניזכר בהגדרה:

הגדרה:

אנך אמצעי לקטע הוא ישר שמאונך לקטע וחותך את הקטע באמצע

במשולש חד זוויות

בניית מעגל חוסם
למשולש חד זוויות

1. שרטטו משולש חד זוויות 
2. בנו לכל אחת מצלעותיו אנך אמצעי

נתון משולש ABC חד זוויות ויש לבנות את שלושת האנכים האמצעיים ואת המעגל החוסם של המשולש. תיאור בניה:

1. בניתי אנך אמצעי לכל צלע של המשולש.
2. חגתי את המעגל החוסם של המשולש.

נמצא ששלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת שנמצאת בתוך המשולש

במשולש ישר זווית

1. שרטטו משולש ישר זווית 
2. שרטטו את שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש
3. היכן נמצאת הפעם נקודת מפגש שלושת האנכים האמצעיים?

נתון משולש ישר זווית ABC.

בניית מעגל חוסם
למשולש ישר זווית

יש לבנות את שלושת האנכים האמצעיים ואת המעגל החוסם את המשולש.

תיאור הבניה:

1. בניתי לכל צלע אנך אמצעי.
2. שלושת האנכים האמצעיים נפגשו באמצע היתר.
3. מאמצע היתר חגתי קשת ברדיוס השווה למחצית היתר.
4. חגתי את המעגל החוסם את המשולש ABC.

נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים נמצאת על היֶתֶר.

נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים נמצאת באמצע היֶתֶר.

(לצלע שמול הזווית הישרה אנו קוראים היֶתֶר)

במשולש קהה זווית

1. שרטטו משולש קהה זווית
2. שרטטו את שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש



בניית מעגל חוסם
למשולש קהה זווית

3. היכן נמצאת הפעם נקודת מפגש שלושת האנכים האמצעיים?

נתון משולש קהה זווית ABC. נבנה מעגל חוסם למשולש קהה זווית. יש לבנות את שלושת האנכים האמצעיים ואת המעגל החוסם. 

תיאור הבניה:

1. העמדתי אנך אמצעי לכל אחת מצלעות המשולש.
2. שלושת האנכים האמצעיים נפגשו בנקודה O שנמצאת מחוץ למשולש.
3. הנקודה O היא מרכז המעגל שחוסם את המשולש ABC. 
4. רדיוס המעגל החוסם הוא  OB = OC = OA

שלושת האנכים האמצעיים במשולש קהה זווית נפגשים בנקודה אחת הנמצאת מחוץ למשולש

מסקנות ביניים

סכמו את מה שמצאתם לגבי האנכים האמצעיים

שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. במשולש חד זוויות נקודת המפגש של שלושתם– בתוך המשולש, במשולש ישר זווית היא על היתר ובמשולש קהה זווית היא מחוץ למשולש.

בניית המעגל החוסם

שרטטו עוד משולש חד זוויות ובנו לו את שלושת אנכיו האמצעיים.

מדדו באמצעות מחוגה את מרחק נקודת המפגש של האנכים האמצעיים מאחד מקדקודי המשולש.
בדקו באותו אופן את מרחק הנקודה הזאת מיתר קדקודי המשולש.

מפתח המחוגה נקבע על ידי המרחק שבין נקודת מפגש האנכים האמצעיים לבין אחד הקודקודים -- נשתמש באותו המפתח כדי לבדוק שהמרחק שבין נקודת מפגש האנכים האמצעיים לבין כל אחד משני הקודקודים הנותרים במשולש זהה.

כל הקדקודים נמצאים במרחק שווה מנקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

המסקנה:

אפשר להעביר מעגל שמרכזו בנקודת מפגש האנכים האמצעיים וכל קדקודי המשולש יהיו על המעגל הזה.

שרטטו את המעגל הזה ובדקו אם אכן שלושת קדקודי המשולש מצויים עליו.

בניתם את המעגל החוסם של המשולש.

הנה סרטון שבו מודגמת בניית מעגל חוסם למשולש בעזרת סרגל ומחוגה:

ועוד אחד:

הגדרה:

מעגל ששלושת קדקודי המשולש מצויים עליו הוא מעגל חוסם של המשולש.

כל נקודות המשולש, חוץ מהקדקודים, מצויות בתוך המעגל החוסם.

שרטטו משולש קהה זווית ובנו את המעגל החוסם שלו.

שרטטו משולש ישר זווית ובנו את המעגל החוסם שלו.

סיכום

• נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים היא מרכז המעגל החוסם.
• במשולש חד זוויות מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש.
• במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם נמצא באמצע היתר.
• במשולש קהה זווית מרכז המעגל החוסם נמצא מחוץ למשולש .

שאלה לסיום

לפניכם משולש ישר זווית ושמות צלעותיו. השתמשו בשמות הצלעות שלו כדי לענות על השאלה הבאה:

מהו הרדיוס של המעגל החוסם משולש ישר זווית?

פתרון:

רדיוס המעגל החוסם שווה למחצית היתר.

[בגיאומטריה אותה התופעה מנוסחת במשפט: זווית היקפית במעגל הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה.]

המורה,

שלמה יונה