יום שישי, 13 במאי 2011

שיעור מספר 6: המחוגה ושימושיה



הפעם עסקנו בהכרת המחוגה. הסיבה היא כדי שנוכל ללמוד כיצד לבצע בניות שונות בעזרת סרגל ומחוגה. להורים ולמורים המתעניינים מדוע חשוב ללמד זאת וכיצד ללמד זאת כתבתי רשימה נפרדת. השיעור הזה מבוסס על חומרים מתוך ספר ההנדסה שפיתחה והעמידה לרשות הכלל תלמה גביש.

מורה: שרטטו במחברת בעזרת מחוגה מעגלשימו לב! על החלק העליון של המחוגה יש חריצים. הם נועדו להקל את החזקת המחוגה. אל תחזיקו את זרועות המחוגה בעת רישום המעגל. אתם עלולים להזיזן והמעגל לא יהיה מושלם.

חשוב להסב את תשומת ליבם של התלמידים להערה ולהקפיד על החזקה נכונה של המחוגה. קישור בין עשייה מוטורית לבין המושגים עשוי להעמיק את ההבנה ההנדסית בנוסף לפיתוח של מיומנות מוטורית.

מורה: 
השטח הכלוא בתוך המעגל נקרא עיגול.

רשמו זאת בתוך המעגל ששרטטתם. רשמו על המעגל (קו הגבול של העיגול ) את המילה: מעגל. היקף העיגול נקרא מעגלהנקודה בה דקרתם את הדף נקראת : מרכז.

מורה: 
שרטטו מעגל נוסף:
העבירו קו ישר ממרכזו אל היקפו.
לקו הזה קוראים בעברית: מחוג. בלועזית קוראים לקו הזה: רדיוס.
שרטטו באותו עיגול בעזרת סרגל שני מחוגים. על אחד מהם רשמו את המילה העברית ועל האחר את המילה הלועזית. כמה רדיוסים כאלה ניתן לצייר? אין סוף.

כיצד לשרטט פרחים בעזרת מחוגה?
שרטטו מעגל. קיבעו עליו נקודה כלשהי. מנקודה זו שרטטו מעגל באותו הרדיוס. המעגל החדש יחתוך את קודמו בשתי נקודות. אל תמשיכו את שרטוט המעגל מעבר לנקודות החיתוך. באותו אופן שרטטו מעגל נוסף באותו רדיוס מאחת מנקודות החיתוך. חיזרו על הפעולה הזאת עד שתקבלו את הפרח. הערה: כדאי לשרטט רק קשתות שתגענה עד לנקודת החיתוך שלהן עם המעגל. אז יתקבל מעגל שבתוכו פרח. אחר כך אפשר לצייר את המעגלים השלמים ולהשוות את התוצאה.

על בסיס הבנייה הזאת התלמידים ניסו לשער מה יתקבל אם בכל צעד הם ישרטטו מעגלים שלמים. לאחר ששיערו - הם בחנו את השערתם.  

פרחים בעזרת המחוגה

שרטטתי מעגל כלשהו.
מנקודה כלשהי עליו שרטטתי קשת באותו מחוג כמו של המעגל הראשון. הקשת חיברה שתי נקודות על המעגל המקורי.

מאחת מנקודות החיתוך של הקשת עם המעגל, חגתי קשת באותו מחוג עד לנקודות החיתוך עם המעגל המקורי.
הקשת החדשה חתכה את המעגל המקורי בשתי נקודות. מאחת מהן חגתי קשת באותו מחוג עד לנקודות החיתוך עם המעגל המקורי.
מאחת מנקודות החיתוך שהתקבלו חגתי קשת נוספת באותו מחוג.


באותו אופן המשכתי עד לסיום הפרח.

איך ניתן לבנות זווית בת 60 מעלות רק עם מחוגה וסרגל? 
מה הקשר של השאלה הזאת אל שרטוט הפרחים?

יש 360 מעלות במעגל. כאשר בונים את הפרח רואים ש- 6 פעמים נכנסות הקשתות של אותו המחוג להיקף המעגל. מכאן, שנוצרת זווית בת 60 מעלות על ידי חיבור נקודות החיתוך של המעגל והקשתות עם מרכז המעגל. מחברים אחת מנקודות החיתוך של המעגל והקשתות עם מרכז המעגל. אחר כך יש לחבר נקודת חיתוך סמוכה לראשונה אל מרכז המעגל. נקבל זווית בת 60 מעלות.  

כמה זוויות של 60 מעלות נקבל אם נחבר את כל נקודות החיתוך עם המרכז?
שערו, נמקו ובדקו!
מה המסקנות?

שרטטו מעגל נוסף.
בנקודה בה דקרתם את הדף רשמו: מרכז.
בתוך השטח שתחם המעגל רשמו: עיגול.
המרחק של המרכז מהיקף העיגול הוא מחוג (רדיוס) המעגל/העיגול או רדיוס (מחוג) של המעגל/העיגול

רדיוס: קטע שמחבר את מרכז המעגל עם היקפו.

במעגל ששרטטתם העבירו קו מנקודה אחת בהיקפו לנקודה שנייה בו. הקו יעבור דרך מרכז העיגול.
לקו הזה קוראים: קוטר
קוטר: מיתר המעגל שעובר דרך מרכז המעגל.
רשמו את המילה : "קוטר" במקום המתאים.
כמה רדיוסים מכיל הקוטר? שניים.
כמה קטרים יש למעגל? אינסוף
כמה קטרים יש לעיגול? אינסוף
היקף העיגול הוא המעגל . העיגול הוא השטח  שבתוך המעגל.
שרטטו עיגול נוסף.
העבירו קו ישר מנקודה כלשהי על המעגל לנקודה כלשהי אחרת עליו, הימנעו מלהעבירו דרך מרכז העיגול.

התלמידים קיבלו הסבר על ההוראה "להימנע מלהעבירו דרך מרכז העיגול". זו היתה הזדמנות להסביר את ההבדל בין מקרה פרטי למקרה כללי. מקרה כללי נכון לכל המקרים הנידונים. במקרה שלנו: כל קטע המחבר שתי נקודות על המעגל הוא: מיתר.
מקרה פרטי מתייחס אך ורק למקרה אחד או מקרים אחדים מתוך כלל המקרים. כל המיתרים מקיימים את התנאי הנדרש מהם על מנת שיהיו מיתרים. במקרה שלנו: יש מיתרים העוברים דרך מרכז המעגל והם : קטרים.   

לא כל המיתרים מקיימים את התנאי של מעבר דרך המרכז. בניסוח אחר: יש מיתרים שאינם עוברים דרך המרכז, לכן אינם קטרים.     

הגדרה:
ישר המחבר שתי נקודות על המעגל נקרא: מיתר.

מורה:
שרטטו מיתרים אחדים בעיגול ששרטטתם, חלקם יעברו דרך המרכז ויהיו: קטרים, חלקם יחברו שתי נקודות על ההיקף ולא יעברו דרך המרכז.
נסו לשער, מהו המיתר הגדול ביותר? הקוטר.
בדקו את השערתכם על ידי מדידת המיתרים השונים ששרטטתם.

השערה ובדיקתה חשובים לחקר. אישוש ההשערה במעגל אחד אינו מספיק כדי לאמת אותה באופן כללי. יש לשוחח על כך ולבחון את ההשערה במעגלים שונים. חשוב להדגיש שגם בחינה של מספר רב של מעגלים עדיין איננה מבטיחה שלפנינו חוק מתמטי כולל, רק הוכחה פורמלית מסודרת מהווה אישור לכלליותו של החוק.  

רשמו במחברות את מסקנותיכם.
  • הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר במעגל.
  • הקוטר שווה באורכו לפעמיים אורך המחוג (הרדיוס).
  • כל מחוג (כל רדיוס) אורכו  מחצית אורך הקוטר.
שימוש בשתי המילים רדיוס ומחוג, לסירוגין, עוזר לתלמידים לזכור אותן ואת הקשר ביניהן.

חלק ממעגל נקרא קשת.

שרטטו מעגל. אִמְדוּ 1/4 ממנו וצבעו אותו באדום.

אומדן חשוב לתחושת המעגל כקו.
השימוש בשברים יחזק את החשבון ואת ההנדסה כאחד.

צִבְעוּ בירוק את החלק שנותר. אורך הקשת הירוקה הוא 3/4 מאורך המעגל.
שרטטו מעגל שקוטרו שונה מקוטר המעגל הראשון.
צבעו 1/2 ממנו בכחול. אורך הקשת הכחולה הוא מחצית מאורך המעגל.

התלמיד רואה צורה שלמה  העיגול  ועליו 'לעבור בעיניו' על פני ההיקף כדי להבחין בין השטח להיקף. עדיין בלי חישובים ובלי שימוש ביחידות המתאימות.

סיכום:
  • למדנו שאפשר לצייר ציורים בעזרת מחוגה.
  • למדנו את המושגים: מעגלעיגולרדיוסמחוגמרכזקוטר,  מיתר,  קשת.
  • הבְחנּוּ בין שטח (העיגול) לבין הקו שמקיפו שהוא ההיקף (המעגל).
הבחינה העצמית מפתחת ביקורת עצמית, מאפשרת חזרה ומסייעת לפיתוח התנהגות מסכמת. 

בחנו את ידיעותיכם:
1. הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר, הוא המיתר המחבר שתי נקודות על המעגל ועובר דרך מרכז המעגל.
2. העיגול הוא השטח הכלוא בתוך המעגל.
3. המעגל הוא היקף העיגול.
4. מיתר הוא קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.
5. הרדיוס הוא הקטע המחבר את מרכז העיגול עם נקודה על המעגל.
6. לרדיוס קוראים גם מחוג.
7. בתוך קוטר יש בדיוק שני רדיוסים.
8. ההיקף הוא הקו הסוגר את הצורה.
9. חלק המעגל נקרא: קשת.
10. מרכז המעגל הוא הנקודה שכל הנקודות על המעגל נמצאות במרחק שווה ממנה.

עניתם על 10 הגדרות. בדקו על כמה מתוכן עניתם נכון. תנו לעצמכם ציון. רשמו אותו בשבר פשוט.
לדוגמא, 9/10, או 10/10.

באמצעות השימוש במחוגה הצלחנו לצייר פרחים, בשיעורים הבאים נלמד להשתמש במחוגה לצרכים מעשיים. לשם כך נכיר מושג נוסף: בניות.
בנייה הנדסית היא שרטוט שנעשה באמצעות סרגל (ללא שנתות) ומחוגה.



המורה,
שלמה יונה

אין תגובות:

פרסום תגובה