יום שישי, 17 בפברואר 2012

שרטוט זוויות ומדידת זוויות בעזרת סרגל ומד-זווית

שיעור מספר 8: שרטוט זוויות ומדידת זוויות בעזרת סרגל ומד-זווית
מד זווית

היום נעסוק במד הזווית.

לאחר שלמדנו הגדרות מקובלות שונות של הזווית ומצאנו בהן בעיות (שיעור מספר 6) הגענו להגדרה טובה של זווית:


הגדרת הזווית:

נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.


מעלה

מאוחר יותר (בשיעור מספר 7) הבנו מה בעצם אנחנו מודדים בזווית ומהן אותן המעלות שמשמשות לנו ליחידות בזווית. מעלה היא חלק אחד מתוך 360 חלקים שווים של מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של שני הישרים מהגדרת הזוית. אם מדברים על המעגל, המעלה היא קשת על המעגל שאורכה בדיוק 1:360 מהיקפו של המעגל. אם מדברים על העיגול (העיגול הוא השטח שבתוך המעגל) אזי המעלה היא גזרה (חשבו על פרוסת פיצה שנחתכה במסעדה מפיצה מעגלית, מה שמכנים "משולש פיצה" הוא בעצם גזרה) ששטחה בדיוק 1:360 משטחו של העיגול. כאשר נסובב (איננו חייבים לסובב באמת, אנחנו "מסובבים בראש, בדמיון") את אחד הישרים עד שיתלכד עם הישר השני נראה על פני כמה חלקים כאלה נחלוף. שימו לב שכאשר אנחנו מודדים כמה מעלות יש בזווית אנחנו מודדים כמות ולא גודל (המילה "כמה" מרמזת לנו על "כמות").

האם יש קשר בין המעלות בזווית לבין המעלות במדידת טמפרטורה?
חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
מדידת זוויות


בדרך זו מצאנו מרכיב קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. במקרה שלנו: 3, שהן 30 מעלות. אם המעגל קטן - הקשתות קטנות, אם המעגל גדול - הקשתות גדולות, אבל מספרן של הקשתות נשאר קבוע. גודל הזווית נמדד לפי מספר הקשתות שבין שוקי הזווית. כל מעגל שנסרטט ומרכזו יהיה בקדקוד הזווית ייתן בחלוקתו אותה תוצאה: 30 מעלות (° 30).



מד הזווית
למדידת זוויות אנחנו משתמשים במכשיר שנקרא מד-זווית. נזכיר שמד-הזווית הוא מכשיר שמודד את מספר חלקי המעגל (הקשתות) הכלואים בין שוקי הזווית.


אם המעגל שעליו נעשית החלוקה הוא קטן, אז גודל הקשתות יהיה קטן, אם המעגל שעליו נעשית החלוקה יהיה גדול, אז גודל הקשתות יהיה גדול, אבל בשני המקרים כמות הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשארת קבועה והיא יחידת המידה שמודדת את גודל הזווית.









במד-הזווית יש שני טורי מספרים: בכל טור יש 180 מעלות: במעגל הפנימי, הקטן יותר, הקשתות קטנות יותר מאלה  שבמעגל החיצוני, אבל מספרן שווה למספר הקשתות הגדולות יותר, השייכות למעגל החיצוני. הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל החיצוני היא מצד שמאל (מתחילים בספרה 0).


הנה דוגמה לזווית בת 70 מעלות הנמדדת על המעגל החיצוני.

הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל הפנימי היא מצד ימין (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 60 מעלות הנמדדת על המעגל הפנימי.




ברבע מעגל יש 90 מעלות (° 90).  ° 90 = 4 : ° 360.
בחצי מעגל יש 180 מעלות (° 180).  ° 180 = 2 : ° 360.
בשלושה רבעים של מעגל יש 270 מעלות (° 270) כי שלושה רבעים של ° 360.
זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.


זווית שטוחה. 180 מעלות. חצי סיבוב על מעגל.

זווית נישאה. זאת שבדוגמה היא בת 270 מעלות. 3/4 של סיבוב על מעגל.
זווית מלאה. 360 מעלות (מקובל גם לסמן ב-0 מעלות). סיבוב שלם של מעגל (או בעצם לא הסתובב שומדבר בכלל...)
שימוש במד הזווית

מורה: הניחו את מד הזווית על השולחן. תארו את מד הזווית.
תלמידים: מד-הזווית מורכב מחצי עיגול. יש עליו מספרים. יש עליו גם קווים.
מורה: הניחו עליו את הסרגל המשולש, כפי שאני מראה לכם. היכן נמצא הקודקוד של הזוית הישרה של המשולש?
תלמידים: באמצע הקו התחתון של מד-הזווית.
מורה: זאת נקודת המוצא שלנו. מניחים את הנקודה הזאת על קודקוד הזווית ואת השוק של הזוית מכוונים כך שהיא תתלכד עם הקו התחתון של מד-הזווית. רואים על איזה מספר עוברת השוק השנייה של הזווית?
תלמידים: השוק השנייה עוברת על שני מספרים, לְמה הכוונה?
מורה: יש שתי סדרות של מספרים: הפנימית והחיצונית. באיזו תשתמשו?
תלמידים: ??
מורה: בתוך מד-הזווית יש הכוונה לקריאה. מהי ההכוונה?
תלמידים: השוק האחת של הזווית מונחת על האפס ומשם קוראים את המידה. ממשיכים לספור מאפס. המספרים במעגל החיצוני אינם מתחילים באפס. לפי הזוית שאנו מודדים נוכל גם להסיק באיזו סדרת מספרים להשתמש.
מורה: הסבירו!
תלמידים: אם הזווית שאותה נרצה למדוד היא חדה ולא קהה אז נצטרך להשתמש בסדרה הפנימית. למשל, עבור הזווית החדה מתאימה מידה של 50 מעלות ולא של 130 מעלות.




סימון זוויות

זוויות נסמן בקשת קטנה בין השוקיים, כדי להבחין על מה מדובר וכדי לסמן שמדובר בסיבוב מעגלי. זווית ישרה מקובל לסמן באמצעות קו שבור, כך:
סימון של זווית ישרה


דוגמאות לזוויות קהות:


כיצד מחשבים את גודלה של זווית נישאה?
כדי למדוד זוויות נישאה, מודדים בעזרת מד-זווית את גודל הזווית החדה המשלימה אותה ל-° 360 ומחשבים את ההפרש בינה ל-° 360. לדוגמה, כדי לחשב את זווית ד' בסרטוט, מודדים במד זווית את הזווית החדה שהיא בת ° 20 ומחסרים אותה מ-° 360.



סיכום
זווית ישרה היא בת  ° 90.
זווית חדה היא זווית הקטנה מזווית ישרה.
זווית שטוחה היא זווית בת  ° 180 והיא שווה לסכום של שתי זוויות ישרות.
זווית קהה היא זווית הגדולה מזווית ישרה, וקטנה מזווית שטוחה.
זווית נישאה היא זווית הגדולה מזווית שטוחה, וקטנה מזווית בת  ° 360.


המורה, 
שלמה יונה



אין תגובות:

פרסום תגובה