על הצורך במושגי יסוד

על הצורך במושגי יסוד  

[...] נלמד לחשוב ולהבין תופעות בעולם. לשם כך נשתמש במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט כבמגרש משחקים וכמעבדה כדי ללמוד עקרונות ורעיונות שאותם נוכל להפעיל ולנסות על בעיות שונות בעולם. לפעמים התרגום מהמתמטיקה לבעיה בעולם וההיפך קלה ולפעמים היא קשה. [...] נפתח צורת חשיבה באמצעות תרבות ושפה כאשר המתמטיקה משמשת לנו גם כדגם וגם ככלי עבודה.

את המילים הללו שמעו התלמידים בשיעור המבוא של סדנת המתמטיקה וכן שמעו על אודות הסדנה ועל אודות המורה. 

עמוד מתוך הספר "יסודות" של אוקלידס

[להורים ולמורים: אפשר לקרוא על עקרונות ההוראה ברשימה הזאת ועל המורה ברשימה הזאת ועל הוראת גיאומטריה לתלמידי בית ספר יסודי בעזרת בניות בסרגל ובמחוגה ברשימה הזאת] 

שאלתי את התלמידים על אילו נושאים הם למדו ולומדים במתמטיקה ומדוע לדעתם הם לומדים את זה. שאלתי אותם על השימושים של מה שהם לומדים. השיחה קלחה ובמהלכה הרגלתי את התלמידים לכמה הרגלים תרבותיים בכתה בתקשורת שבינינו, כגון:

• פנייה אל התלמידים בשמם הפרטי
• חזרה על שמו של תלמיד שאמר דבר מה (תחת השימוש ב-"הוא" או ב-"היא") וחזרה על דבריו בניסוח שונה
• ביאור מושגים
• לשאול למה הכוונה כאשר אין מבינים למה הכוונה
• להשתמש במונחים מדוייקים וברורים
• השיחה אינה רק בין התלמידים לבין המורה אלא במליאה -- הדיון מונחה על ידי המורה
• הסבר או מענה אינם מגיעים רק מהמורה: המורה מבקש או נותן רשות לתלמידים להסביר ולפרש לתלמידים אחרים
• מותר, רצוי והכרחי לבקש הסברים

מתוך התייחסות לתמונה שבכתה שאלנו ממה הנושא של התמונה (מבנה בכפר יונה) מורכב, ואז ממה המרכיבים מורכבים עד שהגענו לחלקי יסוד. גם במהלך השיחה כשעלה מושג, ביקשתי להסביר אותו, ואז להסביר מושגים שהיו בשימוש בהסבר וכך הלאה -- עד שהבנו שיש צורך במושגי יסוד -- מושגים שאין מגדירים אותם אלא "מחליטים" או "מסכימים" עליהם ובאמצעותם אנחנו מגדירים ומסבירים את המושגים האחרים. יש כאלה בכל תחום.

סיפרתי לתלמידים שהנושא העיקרי בשיעורים שלנו הוא גיאומטריה וסיפרתי להם על מושגי היסוד בגיאומטריה:

• נקודה
• ישר
• מישור
• מרחב

הצעתי לתלמידים שמעוניינים לחפש הסברים והגדרות למושגים אלה בבית במילונים, בספרים, באינטרנט או אפילו לשאול הורים או מכרים. בשיעור הבא נעסוק בהם.

התלמידים התבקשו להגיע לשיעורים הבאים עם מחברת משובצת, כלי כתיבה, סרגל, מחוגה ומד זווית.

המורה,

שלמה יונה

מי מלמד את הילדים שלכם בסדנת המתמטיקה?

מי מלמד את הילדים שלכם לאחר שעות הלימודים בסדנת המתמטיקה?

שלמה יונה מלמד בסדנת המתמטיקה בבית הספר עמל בכפר יונה את קבוצת תלמידים מכיתות ה' ו-ו' שנבחרו על ידי רכזות המתמטיקה בבית הספר וכן תלמידים נוספים (אפילו מכיתות אחרות) שמעוניינים ללמוד, להרחיב ולהעמיק. התלמידים מגיעים מתוך בחירה. ההוראה בהתנדבות מלאה ולאחר סיום יום הלימודים. 

אני תושב כפר יונה. שלושת ילדיי לומדים במערכת החינוך בכפר יונה. לפרנסתי אני מפתח אלגוריתמים ותוכנה בחברת אאוטבריין. השכלתי האקדמית היא במדעי המחשב (תואר שני בבלשנות חישובית) ובהנדסת מחשבים ותוכנה (תואר ראשון) ויש לי גם תעודת הוראה במתמטיקה. מעת לעת ולפי יכולתי אני מלמד מתמטיקה בהתנדבות בבתי ספר יסודיים ועל יסודיים, מדריך הורים כיצד לעזור לילדיהם בשעורי הבית ומעביר סדנאות להורים לילדים בגיל הגן בנושא אוריינות מתמטית. בכל הקשור להוראה אני נהנה מייעוץ מהשורה הראשונה מאשתי, מיכל, שמרכזת את לימודי המתמטיקה בתיכון איש שלום בכפר יונה ומהמורה הוותיקה, מחברת ספרי עיון בחינוך וחומרי לימוד  תלמה גביש שנמנית עם מייסדי  העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול שבה גם אני חבר.

המורה,

שלמה יונה

מדוע ללמד גיאומטריה בעזרת בניות עם סרגל ומחוגה?

מדוע ללמד גיאומטריה בעזרת בניות עם סרגל ומחוגה?

בגיאומטריה נוספת לפעילות הקוגניטיבית של החשבון גם פעילות מוטורית: שימוש נכון ומושכל במחוגה ובסרגל, על ידי ביצוע של בניות בעזרת סרגל ( ללא שנתות ) ומחוגה. הלימוד והתרגול של בניות בסרגל ובמחוגה משמשים בסיס ללימוד הפורמלי של הגיאומטריה בעל-יסודי, שם הבניות מתבססות ומלוות בהוכחות גיאומטריות. שילוב הפעילות המוטורית בתיאור תהליך הַבְּנִיה מאפשר הפנמה שלתהליכי החשיבה והבנה עמוקה יותר של המושגים ושל מערכות היחסים.

בסדנת המתמטיקה שלנו הנושא הוא גיאומטריה והאמצעי הוא בניות בעזרת סרגל ומחוגה. סדר ואופן ההוראה מבוסס ברובו על שיעורים למורה ולתלמיד בהנדסה שפיתחה וכתבה והעמידה לרשות הרבים תלמה גביש, אשר גם מנחה ומדריכה אותי בהוראת הנושא. אני ממליץ למורים, להורים ולתלמידים להשתמש בחומרים הזמינים באתר של תלמה גביש כדי להרחיב דעת.

הוראת הבניות תורמת תרומה מיוחדת במינה להבנה המתמטית בכלל ולהבנת הגיאומטריה בפרט. ההתנסות הממושכת תהליך של הביצוע המעשי, הניסוחים הקפדניים והשילוב של שני אלה הם בסיס הכרחי להבנה. במיוחד גדולה תרומתו של החלק המטפל בקווי הלוואי של המשולשים. בתוכו יש חשיבות מיוחדת במינה לבניית הגבהים. השימוש בהגדרת הגובה, ההבחנה בין האנך היורד מהקדקוד אל הצלע שמולו או אל המשכה לבין האורך של הגובה, ההבחנה בין מצב הגבהים במשולשים השונים והפירוק של התהליך המורכב לצעדים מדודים, פותחים לפני התלמיד את הדרך להבנה מעמיקה של הגיאומטריה. כדי להפיק את מלוא התועלת מהוראת הבניות יש להקדיש לנושא זמן רב. . הבניות הן חוליה חשובה בבניית המעבר מהתהליך האינדוקטיבי לדדוקטיבי. 

חישוב שטחים של מקבילית, משולש וטרפז מחייב הכרת מושג הגובה. כדי ללמד את מושג הגובה, חייבים להתייחס להורדת אנך. כדי שבנייה זו תובן יש להבחין ביןהורדת אנך להעלאת אנך. הגובה הוא אחד מקווי הלוואי של המשולש, הוראתו ללא קווי הלוואי האחרים: אנך אמצעי, תיכון וחוצה זווית, עלולה לגרום לטעויות בעתיד, שכן תלמידים רבים חושבים, בעקבות ההתמקדות בגבהים, שלמשולש יש רק קו לוואי מסוג אחד ובהמשך לימודיהם מבלבלים בין כל קווי הלוואי. בנוסף, לומדים רבים נוטים לקרוא לצלע המשולש: "בסיס" כאשר הצלע מאוזנת. זוהי טעות שיש בה ערבוב פרמטר של צורה עם פרמטר של כיוון. בסיס על פי הגדרתו מצוי רק במשולש שווה שוקיים, לשיום הצלע שאינה שווה לאחרות. במשולש שווה צלעות כל הצלעות הן גם שוקיים וגם בסיס.

הביטוי השגוי השגור בפיהם של רבים: "שטח משולש שווה למחצית המכפלה של הבסיס בגובה", מקורו באותה טעות. מניעת הטעות מחייבת הבחנה בין הגבהים השונים. תלמיד שבנה את שלושת הגבהים באמצעות הורדת אנך, יבין טוב יותר את מושג האנכות, יכיר את האפשרויות השונות של היחסים בין הגבהים למשולשים מסוגים שונים וילמד, בדרך זו, כיצד מנתחים תופעה מכל היבטיה. שילוב קווי הלוואי עם בניות בעזרת סרגל ומחוגה ועם חישובים של היקפים ושטחים נשזרת היטב על החישובים עם יחידות מידה.  

מטרות היחידה

   -  יצירת הבסיס הנדרש ללימוד הגיאומטריה.

-         הכרת בניות היסוד: חציית קטע, העמדת אנך, הורדת אנך, חציית זווית, העתקת זווית ובניית זוויות באמצעות מחוגה וסרגל (ללא היעזרות ביחידות שעליו).

-         קישור לחומר קודם ושימוש בו. למשל, בדיקת גודלה של זווית שנבנתה במחוגה וסרגל על ידי מד-זווית.

-         שימוש בהגדרות ובהוראות לביצוע פעולות הנדסיות.

-         הטלת דיסציפלינה מתמטית על חומר מוכר. 

-         הכרת קווי הלוואי של המשולשים.

-         הכרת חשיבותה של המחוגה בבניות.

-         הכרת המעגל החוסם והחסום במשולש.

-         הכרת הגבהים במקבילית.

-         יישום בניות שנלמדו בפעילויות מורכבות יותר כמו, חציית קטע המשמשת   

    להכרת התיכונים במשולש.

- ניסוח תהליך הבנייה ההנדסית בקפדנות, תוך שימוש במטבעות לשון מדויקות, כמו: מ - A חגתי קשת במחוג… או: אל A כקדקוד ואל AB כשוק העתקתי את הזווית A  נתונה. 

תת- מטרות

  - קישור בין פעילות מוטורית (שרטוט) וקוגניטיבית (ניתוח תהליך) לשם יצירת חוויה תחושתית-אינטואיטיבית שתבסס את קליטת המושגים והיחסים ביניהם.

-         קישור פעילות מחשבתית אל השימוש במכשירי עזר כמו מחוגה וסרגל.

-         יצירת הנאה אצל הלומד מהעיסוק בבניות.

-         להפעיל אופרציות מנטליות כמו: הבחנה, זיהוי, הבנת יחס וכיוצא בזה כהכנה לשלב האופרציות הפורמליות.

-          קריאת הוראות.

-          הפעלת מנגנוני ביקורת עצמית, כמו בניית זוויות בעזרת מחוגה וסרגל

וביקורת הבנייה על ידי מדידה עם מד-זווית.

רשימת מושגים שיילמדו :

מעגל, עיגול, היקף, שטח, מרכז, מחוג, רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, אנך, הורדת אנך, העלאת אנך (העמדת אנך), גובה, העתקת קטע, חציית קטע, תיכון, חוצה זווית, אנך אמצעי, משולשים, מעגל חוסם, יתר, ניצב, מעגל חסום, גובה, משפחת המרובעים, מקבילית, מלבן, ריבוע, טרפז, בסיס גדול, בסיס קטן, שוק, מעוין, אלכסון, ציר סימטרייה, הגדרה, מקרה פרטי, מקרה כללי.

התלמידים יזדקקו למחברת, לכלי כתיבה, לסרגל ולמחוגה.

המורה,

שלמה יונה

סדנת מתמטיקה בבית הספר עמל -- שנת הלימודים התשע"ב

סדנת מתמטיקה בבית הספר עמל 

שנת הלימודים התשע"ב

בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה מידי יום שישי לאחר סיום הלימודים מגיעים תלמידים סקרנים שבוחרים ללמוד מתמטיקה גם כשחבריהם חוזרים הביתה. שיעור המתמטיקה הזה מיוחד. אין בחינות, אין מטלות ואפילו אין חובה להגיע. כל תלמיד שמעוניין להשתתף יכול להגיע. ההוראה בהתנדבות מלאה.

הרעיון הוא להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדויקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים.

הנושא המקשר במפגשים שלנו יהיה: גיאומטריה עם בניות בעזרת סרגל ומחוגה.

במפגשינו בסדנת המתמטיקה נשתמש בגיאומטריה (מה שמכנים בבית הספר היסודי "הנדסה") כמעבדה או כארגז חול כדי לשחק וכדי להתנסות בסביבה פשוטה ומוגדרת היטב שיש לה שפה וחוקים וכללים ותהליכים ברורים ומוגדרים. נשתמש בעקרונות שנלמד בגיאומטריה כדי להבין היכן הם מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה, במדע ובחיי היומיום.

הגיאומטריה היא המקום שבו אפשר לקשר בדרך הטובה ביותר בין היד, העין והחשיבה. בגלל ריבוי המושגים, זהו גם המקום שבו אפשר ללמוד היטב מושגים של מיון ושל היסק. זהו גם מקום לביצוע חישובים שמתקשרים עם המחשות ויזואליות.

כוונה והדדיות: התלמידים מגיעים מתוך עניין וסקרנות ומתוך בחירה והמורה מגיע ללמד בהתנדבות ורוצה להרחיב את הבנתם של הילדים. בכל נושא נסביר מדוע אנו עוסקים בו ובכל נימוק נסביר מדוע הוא ענייני.

העברה (טרנסצנדנטיות): היכולת לפעול במרחקים גדלים והולכים של זמן, מרחב ורמות הפשטה, היא המאפיין העיקרי של ההתפתחות האנושית. איך מטפחים את תהליך ההתרחקות ממושא הפעילות והצריכה? איך יוצרים את היחס לעולם אשר מאפיין את האדם? איך יוצרים את יכולת ההעברה של הנלמד לכל תחומי החיים? את זה עושים באמצעות תיווך להעברה: בשיעורים שלנו הגיאומטריה אינה תלושה מהמציאות -- נהפוך הוא -- כל נושא וכל מושג מקושר לחיי היום-יום, להיסטוריה, למדע ולשימושים רגילים. כל עקרון שאותו נסביר ושאותו נבין בהקשר מתמטי מסוים נבדוק היכן הוא מופיע במקומות אחרים ובתחומים אחרים במתמטיקה וגם בחיים. התיווך להעברה אינו מתייחס רק להכללות המשגות ופונקציות מופשטות והוא אף אינו תלוי במודעות המפורשת של המעורבים באינטראקציה התיווכית. התיווך להעברה יוצר בתלמיד מגוון אדיר של אפשרויות פעולה ותגובה, שמשמעותן היא גמישות ויצירתיות שמאפשרות לו לשנות את עצמו באופן תמידי כדי להסתגל למצבים חדשים.

תיווך של משמעות: בסדנה שלנו אין המורה מסתפק בהעברת תכנים לתלמידים אלא עונה על שאלות כמו: מדוע תכנים אלה חשובים? לשם מה יש ללמוד אותם? בדרך זו יוצרים בתלמידים מטען שמהווה מניע לקליטת התיווך ולשימוש בו. התיווך למשמעות הוא שיוצר את הכוחות הרגשיים-מוטיבציוניים שמניעים את פעולותינו ואת התנהגותנו. המשמעות הופכת את המסרים של המורה למובנים ולמנומקים גם לגבי יעדים שמעבר לסיטואציה המידית. המשמעות מעוררת את הצורך של התלמידים לחפש משמעויות בעצמם: לא רק לחפש את המשמעות המסוימת שהמורה מנסה להעביר אלא גם לחפש יחסים וקשרים בין אירועים ותופעות במובן רחב יותר של סיבה ושל תכלית.

אין עניין שהוא מופשט ובאויר ואין לו משמעות ואין לו קשר -- ואין נושא שנלמד שאיך לו שימוש גם מחוץ להקשר שבו הוא נלמד. המטרה היא להרגיל את הלומדים לחפש כוונה ומשמעות בחומר שהם לומדים גם מחוץ לשעורים הללו -- ולהתעקש על הבנה ועל הגדרות מסודרות ועל דיוק. 

אילתורים ועמימות ויצירתיות יפים הם לאחר שהדיוק והעקרונות מובנים ומסודרים -- את החופשיות ביצירתיות ואת היופי שבה אפשר לראות בהשוואה למסודר ולמדויק ולאחר שיש הבנה של הבסיס. יצירתיות היא פריצה ממסגרות בעוד שחינוך הוא הכנסה למסגרת. אנו נלמד לפרוץ מסגרות לאחר שבנינו אותן והבנו אותן ואת שימושיהן ואת עקרונותיהן. כך נעשה סדר בבלאגן.

הלימוד הוא מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף המופשט. כך התלמידים יבנו להם מודל מנטלי ברור של המושגים.

העקרונות בהוראה הם:

* שיטתיות -- בניית הדברים על פי הסדר הנכון

* שפה מתמטית -- שימוש שפה מדויקת וניסוחים מפורשים

* התנסות ישירה -- בניות בסרגל ובמחוגה: כדי לחבר את היד עם העין, תחילה בסרגל בלבד ואחר כך בשילוב עם המחוגה. התנסות בבניות מחברת בין המושגים, ההגדרות והמשפטים למודל אותו הם מתארים. מי שלומד לתאר בניות ולמלא אחר הוראות בנייה מיטיב להמליל ולנסח מושגים.

* מהמוחשי לציורי ואז ורק בסוף למופשט -- בנייה מדורגת של ההפשטות לטובת יצירת מודל מנטלי נכון ויעיל

* דירוג והדרגתיות-- כל מקרה של קושי גורר טיפול ונסיגה למקרים פשוטים יותר, כדי לבנות מעין מדרגות שיגשרו מעל לפער

* העברה ומשמעות -- קשר למציאות: שימוש באותם העקרונות בנושאים אחרים

* הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות

* מצא את השגיאה -- כל תלמיד ותלמידה מוזמנים ונדרשים להביע דעה ולענות ולהשתתף בדיון. מסבירים כל טענה. את הטעויות מזהים, מבינים, מתקנים -- ומהתהליך הזה לומדים. אין לעג ואין בושה -- למעשה, מתשובות שאינן מדוייקות ומטעויות לומדים לפעמים הרבה יותר מאשר מרצף מושלם של תשובות נכונות "מהספר".

* העקרונות באים מהילדים מתוך דיון כתתי ומתוך התנסות

בגיאומטריה, כאשר מגיעים לשלב ההוכחות, צריכים המושגים להיות כבר נהירים. לשלב הדדוקטיבי בגיאומטריה צריכים לקדום שלבים של היכרות ושל בנייה. בתוכניות הלימודים בגיאומטריה של משרד החינוך לחטיבות הביניים נאלצים לשלב את המושגים ואת ההוכחות בבת אחת. רצוי להימנע ממצב שבו התלמידים צריכים בעת ובעונה אחת להבין את המושגים, ועוד בכמה רמות שונות: זיהוי, ציור, המללה, ובאותה עת גם להשתמש בהם בהוכחות דדוקטיביות.

התלמידים בשיעורי הסדנה ירוויחו מהיכרות מוקדמת ומוחשית עם המושגים, הבנה עמוקה ובניית מודל מנטלי נכון שלהם -- כך שלכשיגיעו בחטיבת הביניים להוכחות דדוקטיביות בגיאומטריה, ייקל עליהם לדמיין את הבעיות באופן נכון, יוכלו להשתמש במושגים כראוי, וגם תהיה להם אינטואיציה נכונה לגבי בניות עזר.

שיהיה לכולנו בהצלחה.

המורה,שלמה יונה

מיון ופתרון תרגילים מסכמים של כתה ו' בנושא יחס

מרכז המורים הארצי למתמטיקה בחינוך היסודי פרסם דפי חזרה ותרגול לתלמידי כתות ו'. ליקטתי מתוכם תרגילים ובעיות בנושא היחס כדי להדגים את הרעיונות שעלו בשיעור מספר 12 שעסק במשמעויות היחס.

מתוך דף חזרה מספר 4 לכתה ו':

א. חשבו את כמות הצבע הדרושה לצביעת חדר, בממדים 4 × 6 × 3 (אורך החדר 6 מ', רוחבו 4 מ' וגובהו 3 מ') אם ידוע שלצביעת כל 2 מ"ר, משתמשים ברבע ליטר צבע.

ב. כמה ליטרים של צבע צריך לצביעת חדר בממדים: 4 × 3 × 3?

(אורך החדר 3 מ', רוחבו 4 מ' וגובהו 3 מ')

פתרון: הבעיה אמנם מכוונת כנראה לידע ולהבנה בחישוב נפח תיבה, אולם לדעתי הבעיה הופכת קלה מאוד אם פותרים אותה מתוך ראיה של היחסים. מדובר במשמעות הראשונה של היחס כפי שהצגנו בשיעור מספר 12. לפנינו 3 משטחים שוני שטח שמכל אחד מהם יש שניים: שני קירות בעלי שטח של 18 מ"ר, שני קירות בעלי שטח של 12 מ"ר ועוד רצפה ותקרה שכל אחת מהן בעלת שטח של 24 מ"ר. נניח שצובעים את הכול (אף על פי שטרם ראיתי חדרים שבהם צובעים גם את הרצפה... ושאין אף חלון ואף פתח לדלת או למעבר... מוטב היה לדבר על תיבה שצובעים.) ונעבור לטיפול ביחס: נתון יחס של 1/4ל':2מ"ר אבל היחס אינו מוצג באופן המקובל. נרחיב ונקבל 1ל':8מ"ר אבל נוח יותר במקרה הזה לעבוד עם כמות צבע ליחידת שטח ולכן נהפוך את היחס הנתון ונציגו בתור 1מ"ר:1/8ל', זאת אומרת שצריך שמינית ליטר של צבע לצביעת 1מ"ר. מכאן קל מאוד להמשיך: זוג הקירות ששטח כל אחד מהם 18מ"ר ידרוש 36/8ל' צבע. זוג הקירות ששטח כל אחד מהם 12מ"ר ידרוש 24/8ל' צבע והתקרה והרצפה ששטח כל אחת מהן 24מ"ר ידרשו 48/8 ל'. נחבר ונקבל: 13.5=108/8=8/(36+24+48). ולפיכך התשובה היא שיידרשו 13.5 ליטרים של צבע.

לפתרון סעיף ב', נבחין שאחד הממדים קטן פי 2 ולכן השטחים שיש לצבוע משתנים בהתאמה ל- 9מ"ר לקיר מהסוג הראשון, (קטן פי 2) 12מ"ר לסוג השני (ללא שינוי) ו-12מ"ר לרצפה ולתקרה (קטן פי 2). יש שימור בכמות הצבע ליחידת שטח ולכן התרגיל יהיה: 8.5=66/8=8/(18+24+24), ולכן נדרשים 8.5 ליטרים של צבע.

מתוך דף חזרה מספר 7 לכתה ו':

צבעו את העיגולים בשני צבעים, אדום וכחול, כך שהיחס בין מספר העיגולים האדומים לבין מספר העיגולים הכחולים יהיה 3:1. (כל עיגול צובעים בצבע אחד בלבד)  [מצויירים 20 עיגולים]

פתרון: שוב מדובר במשמעות הראשונה של היחס. אם היחס בין האדומים לבין הכחולים הוא 3:1 אזי מכל 4 עיגולים יש לצבוע 3 עיגולים באדום ועיגול אחד בכחול. משום שישנם 20 עיגולים אז יש 5 רביעיות של עיגולים ולכן נצבע 5 פעמים 3 באדום ו-5 פעמים 1 בכחול. בסך הכל צבענו 15 עיגולים באדום ו-5 בכחול. נבדוק את התשובה ונראה ש-3:1=15:5.

דרך אחרת היא להרחיב את היחס כך שהסכום של המונה ושל המכנה יהיה 20 וכמובן שהרחבה ב-5 תתן 15:5 ומכאן התשובה.

יורם שרטט 21 עיגולים ריקים ורצה לצבוע אותם בשני צבעים ביחס 1:3. האם יצליח לצבוע את העיגולים? נמקו. הציעו ליורם יחס אחר, כך שיוכל לצבוע את 21 העיגולים בשני צבעים לפי יחס זה.   

פתרון: שוב, המשמעות הראשונה של היחס. צריך להיות שלכל יחידה של א' יהיו 3 יחידות של ב', זאת אומרת שצריכים שהכמות הכוללת תתחלק ללא שארית ב-4, אבל 21 נותן שארית 1 בחלוקה ב-4 ולכן יורם לא יצליח לצבוע את העיגולים לפי רצונו. יחס אחר צריך לאפשר חלוקה ללא שארית של 21. 21 מתחלק ללא שארית ב-3 ולכן אפשר להציע יחס של 2:1 למשל.

שרטטו 36 עיגולים, ורצו לצבוע אותם בשני צבעים, אדום וכחול לפי יחס מסוים. סמנו את היחסים האפשריים לפיהם ניתן לצבוע את העיגולים. היחס בין מספר העיגולים האדומים למספר העיגולים הכחולים יכול להיות: 

א. 1:3 ב. 1:4 ג. 1:5 ד. 1:6 ה. 1:8 ו. 4:5

• לכל סעיף שסימנתם ציינו כמה עיגולים יהיו מכל צבע.

• לכל סעיף שסימנתם ציינו איזה חלק מהווים העיגולים האדומים מכלל העיגולים.

פתרון: מדובר במשמעות הראשונה של היחס והסעיף האחרון עוסק במשמעות השנייה של היחס. היחסים שמוצאים ב-א', ג', ה' ו-ו' מתאימים כי 36 מתחלק ללא שארית ב-4, 6, 9 ושוב ב-9 (בהתאמה). א': יש 9 רביעיות ולכן יהיו 9 אדומים (רבע מכלל העיגולים) ו-27 כחולים. ג': יש 6 שישיות ולכן יהיו 6 אדומים (שישית מהעיגולים) ו-30 כחולים. ה': יש 4 תשיעיות ולכן יהיו 4 אדומים (תשיעית מהעיגולים) ו-32 כחולים. ו': יש 4 תשיעיות ולכן יהיו 16 (ארבע תשיעיות) אדומים ו-20 כחולים.

לילך רצתה לצבוע את העיגולים שמשרטטת בשני צבעים שונים וביחס של 2:3, הציעו ללילך כמה עיגולים עליה לשרטט כדי שתוכל לצבוע אותם ביחס של 2:3. הציעו שתי אפשרויות.  

פתרון: שוב מדובר במשמעות הראשונה של היחס. נדרשים על כל 2 מצבע א', 3 מצבע ב'. ולכן על הכמות הכוללת של העיגולים שתשרטט לילך להתחלק ללא שארית ב-5=2+3. אז היא יכולה לשרטט למשל 5 עיגולים או 50 עיגולים.

סיכום: מצער שאין בין התרגילים המוצעים לחזרה ולתרגול בעיות שעוסקות במשמעויות השלישית והרביעית של היחס ובמצבים מאתגרים יותר. האם זאת משום שהציפייה מהתלמידים נמוכה? מה זה מעיד על רמת הוראת המתמטיקה ועל היכולות של התלמידים שמסיימים כתה ו'? האם המורים אינם מספיקים או אינם יכולים ללמד את החומר הקשה יותר של המשמעויות השלישית והרביעית? האם מתוך חוסר הבנה שלהם? האם בגלל הפערים שנפערים בין יכולות התלמידים? לא ברור...

שימוש מושכל ברמזי לשון בעת פתרון בעיות במספרים טבעיים מאת תלמה גביש

שימוש מושכל ברמזי לשון

בעת פתרון בעיות במספרים טבעיים

תלמה גביש

ב"מתמטיקה יסודית" מתבקש התלמיד כבר בתחילת כיתה א' להמציא בעצמו סיפורים חשבוניים על ציורים נתונים, למצוא יחסים מתמטיים בין מרכיבי הציור ולתרגמם לעברית. מובן, שמי שממציא לבדו בעיות מתמטיות, יודע לפתור בעיות מילוליות, ועליו להיעזר ברמזים מילוליים, כמו: בסך הכל, ועוד וכו'.

אלא, שאליה וקוץ בה, יש ביטויים לשוניים שעלולים להטעות את הילד, כמו:

יותר מ… ב.. , פחות מ… ב.. , בכמה יותר… , בכמה פחות… ,

יותר מ… פי… , פחות מ… פי… , פי כמה יותר… , פי כמה פחות…

לא תמיד "יותר" פירושו תוספת, לא תמיד "פחות" פירושו הפחתה. זה המצב גם בפעלים שמתארים חיסור של גריעה, כמו: אכלתי, זרקתי, נשברו, לקחו, הורידו, נשרו... אותם הפעלים מובילים לחיסור, אבל לפעמים גם לחיבור. לדוגמה:

בעיית חיסור

על העץ היו 9 תפוחים. 2 תפוחים נשרו בבוקר מהעץ. כמה תפוחים נשארו על העץ?

בעיית חיבור

על העץ היו 9 תפוחים. 2 תפוחים נשרו בבוקר מהעץ. אחר הצהרים נשרו  3 תפוחים. כמה תפוחים נשרו? 

ילד שמסתמך על הרמז הלשוני: "נשרו" ועל הקירבה הלשונית בין שתי הבעיות עלול לחשוב שהבעייה השנייה היא בעיית חיסור.

המאמר שלפנינו עוסק במילות מפתח להבעת יחסים מתמטיים ולהוראה שתכוון לשימוש נכון בהן, בעת פתירה או המצאה של בעיות במספרים טבעיים.

כל סיפור חשבוני עוסק ביחס מתמטי בין גדלים, מכאן חשיבות הסיפורים, חשיבות ההבנה של היחס וחשיבותם המיוחדת של המושגים הקובעים את טיב היחסים בין מרכיבי הבעיות.

גודל

מובניה של המילה גודל בעברית:

1. גודל פיזי

לדוגמה:

השולחן הזה גדול מהשולחן ההוא.

או:

התקציב לשנה הנוכחית גדול מהתקציב לשנה שעברה.

גודל פיזי יכול לעבור תהליך כימות שמתבטא בהעברתו ליחידות. לדוגמה, המשפט: "אורך הקו הוא 7 ס"מ" אומר שהקו חולק ל - 7 קטעים שֶשֵם כל אחד מהם הוא סנטימטר. גודלו של הקו הוא אורכו והוא נמדד במספר הקטעים הכלולים בו שאותם אנחנו מונים, כלומר בכמותם של הקטעים האלה שהםיחידות מידה.

2. גודל כמשתנה כמותי המתבטא במספר

בתיאור סוגי היחסים שנוצרים על ידי כמות העפרונות שבידי כרמלה וסער, שלהלן, השתמשנו בגודלבמובן של משתנה כמותי, שפירושו: כמות המצוייה ביחס כלשהו לכמות אחרת.

כדי להימנע מבלבול בכיתה, איננו  ממליצים  להשתמש בביטויים  גודל קטן  ,  גודל גדול.

המינוחים שיש להשתמש בהם בעת ההוראה: כמות, ערך ויחס. לדוגמה: הערך הקטן, הערך הגדול.

עם זאת, אפשר לחשוף את הילדים למושג גודל, להסביר את כפל המשמעויות שלו ולציין שבהקשר הנדון הכוונה היא לכמות המקיימת יחס כלשהו עם כמות אחרת ולאו דווקא לגודל פיזי. כלומר, הכוונה היא למציאת יחס בין שני ערכים.

 יחס

למילה יחס מובנים שונים.

המובן הראשון:

קשר כלשהו בין דברים.

לדוגמה:

יחס מרחבי. [הספר מונח על השולחן.]

יחס רגשי .[איילת אוהבת את דני.]

יחס היררכי. [יחסי עובד מעביד.]

ועוד.

המובן השני:

יחסי גודל מתמטיים המתבטאים בחיבור וחיסור. לדוגמה:  8 גדול מ - 2  ב….

לסוג זה של יחסים משתייכים המינוחים:

יותר מ… ב..

פחות מ… ב..

בכמה יותר…

בכמה פחות…

המובן השלישי:

יחס המתבטא בפעולות של כפל וחילוק , כדוגמת שברים פשוטים ואחוזים. 

לסוג זה של יחסים משתייכים המינוחים:

פי כמה יותר…

פי כמה פחות…

גדול פי…

קטן פי…

כאשר שואלים: "מה היחס בין שני מספרים." מתכוונים ליחס המתבטא בפעולות כפל וחילוק.

יחסי גודל המתבטאים בחיבור וחיסור

המינוחים המבטאים יחסים אלה הם:

יותר מ… ב…  , פחות מ… ב,   בכמה יותר,  בכמה פחות.

כל אחד מהם מוביל לשתי פעולות חשבון הפוכות זו מזו, בהתאם לנתוני הבעייה.

דוגמאות

דוגמא ל - יותר מ…

המובילה לחיבור

לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. ליותם 12 גולות. כמה גולות לעינת?

ליותם יש פחות מאשר לעינת. מספר הגולות שלו הוא המספר הקטן. כדי לדעת כמה גולות יש לעינתמחברים את ההפרש [8 גולות] למספר הקטן, כלומר, למספר הגולות של יותם. 

20 גולות =  8 גולות  +  12 גולות

דוגמא ל - יותר מ…

המובילה לחיסור

לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. לעינת 12 גולות. כמה גולות ליותם?

נתון המספר הגדול [12 הגולות של עינת] ורוצים לקבל את המספר הקטן [הגולות של יותם].

התרגיל :

4 גולות =  8 גולות  -  12 גולות

דוגמא ל - פחות מ…

המובילה לחיבור

מספר האגוזים של אילן פחות ב - 6 מזה של רון. לאילן יש 14 אגוזים. כמה אגוזים לרון?

נתון הערך הקטן, עלינו לחבר כדי להגיע לערך הגדול.

התרגיל:

20 אגוזים  =  6 אגוזים  +  14 אגוזים

דוגמא ל - פחות …מ…

המובילה לחיסור

ת: לעמיר יש 20 אגוזים. מספר האגוזים של אילן פחות ב - 6 מזה של עמיר. כמה אגוזים לאילן?

נתון הערך הגדול, כדי לקבל את הערך הקטן, נחסר ממנו 6.

התרגיל:

14 אגוזים  =  6 אגוזים  -  20 אגוזים

הצעה לדיון שינחה את הילדים לשימוש נכון ומודע בלשון להצגת מערכות יחסים מתמטיות

מ: כרמלה וסער גשו אלי. אני נותנת לכם ביד מספר פריטים.

כרמלה הראי לכיתה מה קיבלת.

כרמלה: המורה נתנה לי 12 עפרונות.

מ: סער, מה קיבלת?

סער: 4 עפרונות.

מ: מי יכול לספר סיפורי חשבון רבים ככל האפשר על העפרונות של כרמלה ושל סער? אני רושמת את ההצעות שלכם על הלוח וממספרת אותן.

1) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד?

2) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה?

3) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה?

4) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער?

5) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה?

6) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?

7) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?

8) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לכרמלה יש ________ עפרונות יותר מאשר לסער.

9) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לסער יש _______ עפרונות פחות מאשר לכרמלה.

10) ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות כרמלה צריכה לתת לסער כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה?

11) ת: [שגוי]  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות סער צריך לתת לכרמלה כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה?

מ: נפתור ביחד את הבעיות שרשמתי על הלוח. איך נפתור את (1) ?

1)  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד?

ת: נחבר 12 ו - 4.

התרגיל יהיה:

16 עפרונות =  4 עפרונות +  12 עפרונות

ביחד היו להם 16 עפרונות.

מ: נפתור את (2).

 2)  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה?

ת: לכרמלה יש יותר עפרונות. כדי למצוא בכמה יותר, נחסר 4 מ - 12. 

התרגיל יהיה:  8 עפרונות  =   4 עפרונות  -  12 עפרונות

לכרמלה יש  8 עפרונות יותר מאשר לסער.

מ: נפתור את (3).

3)  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה?

ת: לסער יש פחות עפרונות. כדי למצוא בכמה פחות, נחסר 4 מ - 12.

התרגיל יהיה:  8 עפרונות =  4 עפרונות -  12 עפרונות

מ: מה אפשר לומר על 3 הבעיות האלה?

ת: אחת מהן עוסקת בחיבור. שתי האחרות עוסקות בחיסור.

מ: נתייחס לשתי בעיות החיסור. מה משותף להן?

ת: התרגיל.

מ: מה מצאנו בתרגיל?

ת: את ההפרש בין מספר העפרונות של כרמלה ושל סער.

מ: התרגיל זהה. האם הבעיות זהות?

ת: לא. הנתונים היו אותם הנתונים, אבל ב - (2) שאלו בכמה יותר  וב - (3) שאלו בכמה פחות.

מ: השאלות של הבעיות היו שונות והתרגילים שווים. מה המסקנה שלכם?

ת: כאשר נתונים שני גדלים, ושואלים "בכמה יותר" או "בכמה פחות" עלינו למצוא את ההפרש. הפרש מתקבל על ידי החסרת המספר הקטן מהמספר הגדול.

מ: נראה ממה מורכבות שתי הבעיות האלה: כמות העפרונות של כרמלה , כמות העפרונות של סער והקשר ביניהם. נתונות שתי הכמויות ועלינו למצוא את הַקֶּשֶר ביניהן.

מ: נפתור את (4).

4)  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער?

ת: זו בדיוק בעייה (2), רק הניסוח שונה.

מ: נכון. נעבור ל - (5).

5)  לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה?

ת:  זו בדיוק בעייה (3), רק הניסוח שונה.

מ: נכון. נעבור ל - (6).

ת: אני כבר רואה שבעיות (6) , (7) , (8)  ו - (9), כולן מאותו סוג של (2), (3) , רק הניסוחים שונים.

מ: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בבעיות שהצעתם.

ת: היו נתונים שני גדלים, כלומר שתי כמויות או שני ערכים, ואנחנו חיפשנו את היחס ביניהם, חיפשנובכמה אחד מהם גדול מהשני,  או קטן מהשני.

מ: צדקתם. אני מוסיפה בעייה:

12) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לסער יש 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה? מה החידוש שבבעייה הזאת לעומת בעיות (2)  -  (9) ?

ת: בבעייה (12) נתון רק גודל אחד [מספר העפרונות של סער] ונתון היחס [הקשר, ההפרש] בין שני הגדלים. צריך למצוא את הגודל השני [מספר העפרונות של כרמלה]. בבעיות (2)  -  (9)  היו נתונים שני הגדלים ומצאנו את היחס [את ההפרש]   ביניהם.

מה עלי לעשות כדי למצוא את מספר העפרונות של כרמלה?

ת: צריך לחבר 8 ל - 4 .

מ: שימו לב לסיפור החדש שלי.

(13) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לכרמלה יש 12 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער? במה שונה הסיפור הזה מקודמו מבעייה 12?

ת: ב - (12) אמרת כמה עפרונות יש לסער. בסיפור האחרון אמרת כמה עפרונות יש לכרמלה. 

מ: מה תהיה הפעולה החשבונית שתוביל לתוצאה?

ת: 12 פחות 8.

מ: סיפרתי כמעט אותו סיפור. בשני הסיפורים השתמשתי בביטוי יותר מ ובכל זאת בסיפור החשבוני הקודם עשינו פעולת חיבור, ובסיפור החשבוני האחרון עשינו פעולת חיסור. הסבירו את ההבדל.

ת: ב - (12) נתת את הערך הקטן והיה צריך למצוא את הערך הגדול. ב - (13) נתת את הערך הגדול והיה צריך למצוא את הערך הקטן.

סיכום

מ: מי יכול לסכם מה למדנו עד עכשיו?

ת: למדנו שביטויים כמו יותר מ… ב… ופחות מ… ב… מכוונים אותנו לחיבור או לחיסור.

ת: למדנו שאם בבעייה קיימים הביטויים האלה, יתר הנתונים יקבעו אם הפתרון יהיה חיבור או חיסור.

ת: למדנו שכאשר אומרים: יותר מ…  ב… ונותנים לנו את המספר הקטן, צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול.

מ: פרטו.

ת: בודקים תחילה למי יש יותר ולמי פחות. אם נתון המספר הגדול, מחסרים את ההפרש כדי להגיע למספר הקטן. אם נתון המספר הקטן, מוסיפים את ההפרש כדי לקבל את המספר הגדול.

ת: למדנו שכאשר אומרים : יותר מ… ב… ונותנים את המספר הגדול , צריך לחסר כדי להגיע למספר הקטן.

ת: למדנו שכאשר אומרים פחות מ… ב… ונתון הערך הקטן , צריך לחבר כדי לקבל את הערך הגדול. אם נותנים את הערך הגדול, צריך לחסר כדי לקבל את הערך הקטן.

מ: רואים שהבינותם היטב איך להיעזר בלשון כדי להרכיב בעיות מתמטיות. מה הביטויים יותר מ…ב… ו - פחות מ… ב… נותנים לנו?

ת: רמז לאיזה סוג הבעייה שייכת.

מ: נכון. אנחנו קוראים לביטויים כאלה רמזי לשון. למדנו איך להשתמש ברמזי לשון כדי להבין בעיות מתמטיות וגם כדי להמציא בעיות כאלה.

ת: אבל רמזי הלשון לא ממש עוזרים. זה מבלבל לקרוא: פחות מ… ובכל זאת לעשות חיבור.

מ: צדקת. כדי לנצל את רמזי הלשון חייבים לבדוק את כל הנתונים של הבעייה. לראות אם נתון הערך הקטן וצריך למצוא את הגדול או להיפך. עכשיו, לאחר שהבינותם, פיתרו את הבעיות הבאות. שימו לב שבחלק מהבעיות מצויין טיבם של הנתונים.

בעיות

1) לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]?

2) לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א', כמות א', ערך א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב', כמות ב', ערך ב'] .בכמה גדול [היחס] מספר התפוזים של שלומי ממספר התפוזים של יהל?

3) לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב'] . כמה תפוזים יש לשלומי יותר מיהל?

4) לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]?

5) לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לגאיה[הגודל הקטן]?

6) לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]?

7) לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הקטן] כמה תפוזיםלגאיה [הגודל הגדול]?

8) לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]?

9) בארגז אחד היו 32 תפוזים, ב - 11 תפוזים יותר מבארגז שני. כמה תפוזים היו בארגז השני?

10) מספר התלמידים בכיתה א' גדול ב - 4 ממספר התלמידים בכיתה ב'. כמה תלמידים בכיתה ב', אם בכיתה א' יש 32 תלמידים?

11) בשכונת "יואב"  יש 86 בתים. בשכונת "הראל" יש 7 בתים יותר משכונת "יואב". כמה בתים יש בשכונת "הראל"?

12) בית חרושת לנייר ייצר מחברות בשני גדלים. המחברות הקטנות הכילו 40 דף. המחברות הגדולות הכילו 32 דפים יותר. כמה דפים הכילה מחברת גדולה?

13) אדם הוציא בחודש ינואר 587 ש"ח על מזון. סכום זה קטן ב - 97 ש"ח מהסכום שהוא הוציא בחודש פברואר. כמה כסף הוא שילם בעבור מזון בחודש פברואר?

14) גדר שאורכה 126 מ' מקיפה גן של בית. גדר שמקיפה את  הבית והגן כאחד ארוכה ב - 530 מ' יותר מזו של הגן. מה אורך הגדר שמקיפה את הבית?

15) בשוק מכרו אבטיח ומלון. משקל האבטיח 5420 גרם. המלון שקל 3201 גרם פחות מהאבטיח. מה משקל המלון?

16) רדיו עלה 156.80 ש"ח. מכשיר וידיאו היה יקר ב - 1890 ש"ח מהרדיו. מה היה מחירו של הוידיאו?

17) פועל קיבל שכר של 6782 ש"ח. חברו קיבל שכר גבוה ב - 672 ש"ח. כמה הרוויח החבר?

18) מר כהן הרוויח ב - 2781 ש"ח יותר ממר לוי. מר כהן הרוויח 6721 ש"ח. כמה כסף הרוויח מר לוי?    

19) בספר קריאה היו 189 עמודים פחות מאשר בספר הלימוד. כמה עמודים בספר הלימוד אם בספר הקריאה היו 237 עמודים?

20) בבית ספר "ירדן" יש 562 תלמידים יותר ממספר התלמידים בבית ספר "רמת-אביב". מספר התלמידים ב"ירדן" היה 4568 . כמה תלמידים ב"רמת-אביב"?

21) בבית בד להכנת שמן זית הביאו בשנת תשס"א 675 ק"ג זיתים. בשנת תשס"ב הביאו לאותו בית בד 194 ק"ג יותר של זיתים. כמה ק"ג זיתים הביאו לבית הבד בשנת תשס"ב?

22) מחיר כרטיס טיסה לאמריקה היה 1238 דולר. המחיר הוזל ב - 350 דולר. מה היה מחיר הכרטיס לאחר ההוזלה?

23) ארון נמכר ב - 4521 ש"ח , לאחר הנחה של 854 ש"ח. מה היה מחיר הארון לפני ההוזלה? 

יחסי גודל המתבטאים בפעולות כפל וחילוק

לעומת הבעיות העוסקות בהפרש יש בעיות שעוסקות במספר הפעמים שגודל אחד מכיל גודל אחר. המילה פי מתארת יחס זה.

רמזי הלשון: גדול פי… או קטן פי… מובילים או לחילוק או לכפל, תלוי בבעייה.

גדול פי … המוביל לכפל

דוגמא

בחדר אחד היו 8 שולחנות. מספר השולחנות בחדר השני גדול פי 3 מזה שבראשון. כמה שולחנות היו בחדר השני?

גדול פי … המוביל לחילוק

דוגמא

בחדר אחד היו 8 שולחנות. מספרם גדול פי 2 ממספר השולחנות בחדר השני. כמה שולחנות היו בחדר השני?

קטן פי … המוביל לכפל

דוגמא

בחדר אחד היו 8 שולחנות. מספר השולחנות בחדר זה קטן פי 2 ממספר השולחנות בחדר השני. כמה שולחנות בחדר השני?

קטן פי … המוביל לחילוק

דוגמא

בחדר אחד היו 8 שולחנות. מספר השולחנות בחדר זה גדול פי 2 ממספר השולחנות בחדר השני. כמה שולחנות בחדר השני?

יש לזכור כי כאשר עוסקים ביחס המתמטי מתכוונים ליחס המתבטא ב " פי … יותר" או ב "פי …פחות". הכופל או המחלק שמבטאים את היחס הזה הם מספרים טהורים, כלומר מספרים ללא כינוי.

שני הסברים לשימוש בכפל בעת הטיפול ביחס

דוגמא

א) קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 3 יותר מטיילים. כמה מטיילים היו בקבוצה השנייה?

התרגיל:

 30 מטיילים =  10 מטיילים x  3

הסבר א' לכפל

30 מטיילים =  10 מטיילים x  3 ,

הוא:

אם ניקח 3 פעמים את 10 המטיילים של הקבוצה הראשונה, נקבל את מספר המטיילים של הקבוצה השנייה.

בהסבר הזה מודגש האספקט הכמותי של הבעייה. 3 פעמים של א' ייתן את ב'. 

הסבר ב' לכפל

כאשר, בגלל חוק החילוף של הכפל, נרשום את התרגיל הזה כך:

30 מטיילים =  3 x  10 מטיילים,

פירושו של התרגיל הוא:

אם ניכפול את מספר המטיילים בקבוצה א' ב - 3 [ביחס הנתון] , נקבל את מספר המטיילים בקבוצה ב'.

בהסבר זה מודגשת העובדה שיש לכפול או לחלק את הגודל הנתון ביחס הנתון, כדי לקבל את הגודל הנעלם.

בהסבר זה מודגש אופן השימוש ביחס נתון. זהו הסבר נוח למעבר אל החילוק בבעיות של יחס, בו מחלקים את הגודל הנתון ביחס הנתון.

דוגמא לבעייה כזו:

קבוצת מטיילים אחת מנתה 10 מטיילים. בקבוצת מטיילים שנייה היו פי 2 פחות מטיילים. כמה מטיילים היו בקבוצה השנייה?

התרגיל:

5 מטיילים =  2  :  10 מטיילים

דוגמא לדיון בבעיות של יחס

מ: הבנתם יפה מאוד איך ליצור סיפור חשבוני וגם איך לפתור אותו, אבל אנחנו עוד לא הכנסנו כפל וחילוק לסיפורים שלנו. יש לכם הצעות?

ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נכפיל את מספר העפרונות של סער כדי לקבל את מספר העפרונות של כרמלה?

ת: לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. באיזה מספר נחלק את מספר העפרונות של כרמלה כדי לקבל את מספר העפרונות של סער?

מ: את הרעיון שלכם אפשר לומר גם כך:

1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?

או:

2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?

מ: גם בבעיות אלה יש שלושה מרכיבים: גודל א' [כמות א', ערך א']  ,  גודל ב' [כמות ב', ערך ב']  ,  היחס ביניהם.

ציינו בבעיות שהצעתם את הגדלים ואת היחס.

1) ת: לכרמלה 12 עפרונות [גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 עפרונות [גודל ב', כמות ב', ערך ב']. פי כמה גדול [היחס] מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?

2) ת: לכרמלה 12 עפרונות [גודל א', כמות א', ערך א']. לסער 4 עפרונות [גודל ב', כמות ב', ערך ב']. פי כמה קטן [היחס] מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?

מ: נפתור ביחד את הבעיות האלה.

1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער?

פתרון

3  =  4 עפרונות :  12 עפרונות

שפירושו: כמה פעמים 12 מכיל את 4.

כלומר, אם נחלק את 12 ב - 4 נקבל ש - 12 גדול פי 3 מ - 4.

מ: מה תהיה התשובה?

ת: מספר העפרונות של כרמלה גדול פי שלושה ממספר העפרונות של סער.

מ: נבדוק את הבעייה בניסוחה  השני:

2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. פי כמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה?

מהו הפתרון?

3  =  4 עפרונות :  12 עפרונות

זה מתאים לשאלה כמה פעמים 4 מוכל [נכנס] ל - 12.

הפתרון הוא בדיוק כמו הקודם.

מ: נכון. אנחנו פועלים באותה דרך כדי למצוא פי כמה יותר… או פי כמה פחות…

התרגיל תמיד יהיה  תרגיל של חילוק. מחפשים את המנה [= היחס].

ת: זה מזכיר את בעיות החיבור והחיסור. כאשר נתונים שני הגדלים ומחפשים את היחס תמיד מחשבים את ההפרש, גם אם שואלים: בכמה גדול ? וגם אם שואלים בכמה קטן ? ביחסים של גדול פי… וגדול מ… תמיד מחפשים את המנה גם אם שואלים: פי כמה פחות?  וגם אם שואלים: פי כמה יותר?

מ: נכון.  אני מציגה שתי בעיות חדשות:

3) לכרמלה 12 בולים. כמה בולים יש לסער אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים של כרמלה?

4) לסער 4 בולים. כמה בולים לכרמלה אם ידוע שמספר הבולים של כרמלה גדול פי 3 ממספר הבולים של סער?

מה נתון ומה צריך למצוא בבעיות האלה?

ת: 3) לכרמלה 12 בולים [הגודל הגדול, הכמות הגדולה, הערך הגדול]. כמה בולים יש לסער [הגודל הקטן, הכמות הקטנה, הערך הקטן] אם ידוע שמספר הבולים שלה גדול פי 3 [היחס] ממספר הבולים של סער?

נתון הגודל הגדול והיחס. צריך למצוא את הגודל הקטן.

מ: מה תהיה הפעולה?

ת: חילוק.

 התרגיל:

4  בולים =  3  :  12 בולים

הסבר:

אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. מספר הבולים שלו קטן פי 3. צריך לחלק את מספר הבולים שלה ב - 3 , כדי לקבל את הגודל הקטן.

מ: איך נפתור את (4)?

4) התרגיל:

12 בולים =  3  x  4 בולים

אם מספר הבולים שלה גדול פי 3 ממספר הבולים שלו. צריך לכפול את מספר הבולים שלו ב - 3.

מ: מה המסקנה שלנו?

ת: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הקטן, צריך לכפול כדי למצוא את המספר הגדול.

ת: כאשר אומרים: גדול פי… ונותנים את המספר הגדול, צריך לחלק כדי למצוא את המספר הקטן.

מ: חישבו איך עבדנו בחיבור ובחיסור. לפי מה שלמדנו. מה אני צריכה ללמד אתכם עכשיו?

ת: מה קורה כאשר אומרים: קטן פי… או  פי כמה פחות…?

מ: נתבונן בבעייה הבאה:

5) לשרית יש 10 סוכריות. לאריק יש פי 2 פחות סוכריות. כמה סוכריות לאריק?

מה נתון ומה צריך למצוא?

ת: נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה, הערך הגדול] , נתון היחס. צריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה, הערך הקטן].

מ: פרט.

ת: 5) לשרית יש 10 סוכריות [הגודל הגדול] . לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות. כמה סוכריותלאריק [הגודל הקטן]?

מ: מה הפתרון?

ת: 5 סוכריות =   2  :  10 סוכריות

צריך לחלק את הכמות הגדולה כדי לקבל את הכמות הקטנה.

מ: איזה סוג של בעייה נשארה לנו לטיפול?

ת: שהיחס יהיה נתון: פי… פחות, שהגודל הקטן יהיה נתון, ונצטרך למצוא את הגודל הגדול.

מ: נכון.

6) לאריק יש 10 סוכריות [הגודל הקטן]. לאריק יש פי 2 פחות [היחס] סוכריות מאשר לשרית. כמה סוכריות לשרית [הגודל הגדול]?

ת: הפתרון הוא:

20 סוכריות =  2  x  10 סוכריות

סיכום הנושא של יחסי גודל המתבטאים בפעולות כפל וחילוק

מ: מה למדנו בנושא של בעיות של פי … יותר, פי… פחות ?

- למדנו שהביטויים גדול ב…  או קטן ב… מובילים לחיבור או לחיסור. תלוי בנתונים, לעומתם למדנו שהביטויים גדול פי… או קטן פי… מובילים לכפל או לחילוק. תלוי בנתונים.

- למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [הכמויות] ומחפשים את היחס, שהוא פי…, צריך למצוא את המנה והפעולה היא: חילוק .

- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.

למשל:

יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 10 עמודים [הכמות הקטנה]. מספר העמודים במחברת השנייה היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת הראשונה. כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הגדולה]?

התרגיל:

40 עמודים =  4  x  10 עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: גדול פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.

למשל:

יקיר קנה שני סוגים של מחברות. במחברת אחת היו 40 עמודים [הכמות הגדולה]. מספר העמודים במחברת זו היה גדול פי 4 [היחס] ממספר העמודים במחברת השנייה. כמה עמודים היו במחברת השנייה [הכמות הקטנה]?

התרגיל:

10 עמודים =  4  :  40 עמודים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הגדולה, צריך לכפול.

למשל:

לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הקטנה]. מספר זה היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של ירדן [הכמות הגדולה]. כמה תפוזים לירדן?

התרגיל:

20 תפוזים  =  2  x  10 תפוזים

- למדנו שכאשר נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] והיחס: קטן פי… ומחפשים את הכמות הקטנה, צריך לחלק.

למשל:

לקרן היו 10 תפוזים [הכמות הגדולה]. מספר התפוזים שבידי ירדן היה קטן פי 2 [היחס] ממספר התפוזים של קרן [הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לירדן?

התרגיל:

5 תפוזים =  2  :  10 תפוזים

סיכום למורה

כדאי לזכור את השלבים הנדרשים לפתרון בעיות כאלה:

1. זיהוי הכיוון של הפער: למי יש יותר ולמי יש פחות?

2. מה נתון? הערך הנמוך או הגבוה?

3. מהו טיב היחס?

3. מה רוצים לדעת?

4. מהי הפעולה החשבונית הנדרשת?

רצוי לתלות בכיתה פלקט שעליו מסורטטת הטבלה הבאה, שתיבנה על ידי הילדים והמורה:

טבלה לסיכום מערכות היחסים ופעולות החשבון הנובעות מהן

בכמה יותר?
הגודל הגדול	הגודל הקטן	היחס	הפעולה
נתון	נתון	?	חיסור הקטן מהגדול
נתון	?	הפרש - נתון	חיסור ההפרש מהגדול
?	נתון	הפרש - נתון	חיבור ההפרש לקטן
בכמה פחות?
הגודל הגדול	הגודל הקטן	היחס	הפעולה
נתון	נתון	?	חיסור הקטן מהגדול
נתון	?	הפרש - נתון	חיסור ההפרש מהגדול
?	נתון	הפרש - נתון	חיבור ההפרש לקטן
פי כמה יותר?
הגודל הגדול	הגודל הקטן	היחס	הפעולה
נתון	נתון	?	חילוק הגדול בקטן
נתון	?	מנה של חילוק גדול בקטן נתון	חילוק הגדול ביחס (במנה)
?	נתון	מנה של חילוק גדול בקטן נתון	כפל הקטן במנה
פי כמה פחות?
הגודל הגדול	הגודל הקטן	היחס	הפעולה
נתון	נתון	מנה של חילוק גדול בקטן ?	חילוק גדול בקטן
נתון	?	מנה של חילוק גדול בקטן נתון	חילוק הגדול ביחס (במנה)
?	נתון	מנה של חילוק גדול בקטן נתון	כפל הקטן במנה

מומלץ לתת לילדים להמציא מספר רב של בעיות יחס ולפתור אותן ביחד.

סיכום

רמזי לשון עשויים לסייע בהבנת מערכות היחסים המתמטיים. לדוגמא, גדול ב… מוביל או לחיבור או לחיסור. עם זאת, הרמזים האלה עלולים להטעות. לדוגמא, יש ילדים שנוטים לתרגם את "גדול מ…" תמיד כחיבור ואת "קטן מ…" תמיד כחיסור. הם מתעלמים מהנתון הנוסף הקובע את הפעולה הנדרשת. הוא הדין לגבי "גדול פי…" או "קטן פי".

מאחר שהבנת בעיות מותנית בהבנה הלשונית והתרגום משפת הדיבור לשפה המתמטית הוא המפתח להבנה המתמטית, יש להשקיע מאמץ רב בטיפול ברמזי לשון ולהביא את התלמידים לשימוש מודע ומושכל בהם.