יום שישי, 1 באפריל 2011

שיעור מספר 3: ממדים

בשיעור הקודם היה בלבול וניסיונות שונים להסביר כמה ממדים יש למרחב. היה קושי בכתה להגדיר מהו ממד כדי להבין כיצד להשתמש במושג כדי להכריע כמה ממדים יש במרחב.

לא בכדי העניין קשה להגדרה. ממד הוא מושג יסודי והבעיה עם מושגי יסוד שאין בעזרת מה להגדירם. מושגי יסוד הם מסוג הדברים שאנשים פשוט מבינים או נדרשים להבין או שתופסים אותם מתוך ניסיון ומתוך התקלות בדוגמאות.

גם אני אנסה להסביר (אך לא להגדיר -- כי ממד הוא מושג יסוד ולא ניתן להגדירו) ולתת תחושה של שליטה ושל הבנה של השימושים ושל ההסכמות בשימושים של המושג היסודי ממד.

אנחנו יודעים שאנחנו מסוגלים למדוד אורכים. אורכים אנחנו מודדים בעזרת יחידות מידה. יחידות מידה מוסכמות הן דבר שימושי והכרחי לצורך תקשורת כדי שניסיונות מדידה חוזרים שלהם תוצאות זהות יהיו אפשריים וכדי לתקשר עם אחרים את תוצאות המדידה (למשל, כדי לבחור רהיט בגודל שמתאים לחלל שמיועד לו בבית).

הסכמנו שלנקודה בגיאומטריה אין ממדים. הנקודה היא חסרת ממד. נקודה אינה תופסת מקום. לכן קל היה להסכים שלנקודה יש אפס ממדים.

אורך אנחנו יודעים למדוד. בשיטה העשרונית, השיטה המטרית, שהיא גם השיטה הבינלאומית שמוסכמת במדע, משתמשים בארץ ובארצות רבות בעולם. כינויי השיטה הבינלאומית ליחידות מידה היא SI, שהן האותיות הראשונות בצמד המילים System International -- מערכת בינלאומית, כאמור. ארצות הברית היא יוצאת דופן בולטת ושם יחידות המידה שונות -- על יחידות המידה בשיטות מידה אחרות ועל ההמרות משיטה לשיטה נלמד בעתיד ולא נתעכב עליהן כאן -- הסקרנים יכולים לנסות לקרוא על האינץ', הרגל, האונקייה וכו' במקורות אחרים -- ויקיפדיה בערך יחידות מידה לאורך או יחידות מידה שאינן תקניות או מערכת היחידות הבריטיות -- כל אלה מקומות לא רעים להתחלה.

אורך, כאמור, מודדים ביחידות אורך. היחידה הבסיסית לאורך היא המטר. משום השימושים הרבים והשונים והצרכים השונים למדידות בקני מידה שהם גדולים יותר ממטר וקטנים יותר ממטר הוגדרו יחידות מידה שמבוססות על המטר -- למעשה, הן מכפלות בחזקות של עשר על יחידת המטר:
1 מטר; נסמן 1 מ'. זה שווה ל-10 דצימטר; נסמן 10 דצ"מ. זה שווה ל-100 סנטימטר ונסמן 100 ס"מ. זה שווה ל-1000 מילימטר ונסמן 1000 מ"מ.

דֶקָה -- בלועזית, עשר (10).
דֶצִי -- בלועזית, עשירית (0.1).

סֶנט -- בלועזית, מאה (המילה century משמעה עשור)
סֶנטִי -- בלועזית, מאית

מִילֶנִיוּם -- אלף
מִילִי -- אלפית


שטח נחשב ביחידות ריבועיות בשל נוחות החישוב וגם נוחות הייצוג (הציור). נוח מאוד לרצף שטח ביחידות שהן ריבועים שווים ולמדוד כך. החזרה נוחה ואין שאריות ורווחים. למדידת שטח של צורות מורכבות יש שיטות רבות ומעניינות ועליהן נלמד בעתיד ולא נתעכב עליהן היום.

יחידות למדידת השטח הן מטר רבוע ונאמר גם מטר בריבוע ונסמן מ"ר. המשמעות היא שאנחנו מחשבים ממש שטח של ריבוע שצלעו מטר אחד ולכן השטח הוא 1מ' כפול 1מ' ונקבל 1מ"ר. הסימון המקובל הוא מ' בחזקת 2. משום שבמטר 1 יש 10 דצ"מ אזי כדי למדוד את שטחות של אותו הריבוע ביחידות שמבוססות על דצימטר נקבל שהשטח הוא 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ שהם 100 דצ"מ בריבוע. באותו האופן אותו השטח ביחידות שמבוססות על סנטימטרים יהיה 100 ס"מ כפול 100 ס"מ שהם 10000 סנטימטרים רבועים ונסמן 10000 סמ"ר ואפשר גם לסמן 10000 ס"מ בחזקת 2. באופן דומה אותו השטח ביחידות שמבוססות על מילימטרים הוא 1000 מ"מ כפול 1000 מ"מ שהם 1 מיליון ממ"ר או מיליון מילימטרים בריבוע.

כמובן שאפשר לדבר גם על יחידות מידה שגדולות מהמטר -- למשל, אלף מטר הם 1 קילו-מטר. קילו משמעו בלועזית אלף. ולכן, למשל, כאשר מדברים על יחידות משקל יש לומר קילוגרם (אלף גרם) ולא סתם קילו -- כי אז לא ברור על מה מדובר. חשוב לנו לדייק במתמטיקה ובמדע בפרט ובשפה שלנו בכלל. יחידת שטח שימושית שמבוססת על הקילומטר (או בקיצור ק"מ) היא יחידה של 1 קמ"ר = 1 קילומטר רבוע = 1000 מ' כפול 1000 מ' = 1000 בריבוע מטר בריבוע = מיליון מטר בריבוע = מיליון מ"ר. ביחידות כאלה של קמ"ר משתמשים למדידות של ארצות ולמפות, למשל. למגרשים לבנייה ולשטחים חקלאיים מקובל להשתמש ביחידה אחרת, הדונם. 1 דונם הוא 1000 מ"ר (ולכן זאת אלפית אחת של 1 קמ"ר).

שימו לב שעד כה ליחידות האורך השתמשנו במטר בחזקת אחד -- המטר כמות שהוא, ליחידות השטח השתמשנו במטר בריבוע -- עלינו לחזקה שנייה. מספר המימדים הוא כמעלת החזקה של יחידות המידה שלנו. נמשיך ונראה את זה גם בנפח.

באותו האופן, כדי למדוד נפח, אנחנו צריכים לערום או לצרף יחדיו יחידות שטח ונדרש לנו ממד נוסף של אורך שמביא לנו ממד נוסף של מידה:

1 מטר מעוקב, 1 מטר קוב (קוב בלועזית היא קובייה) ולשיטתנו עד כה:
1 מ"ק = 1מ' כפול 1מ' כפול 1מ' = 1 בשלישית מטר בשלישית = 1 מטר בשלישית (או 1 מטר קוב)
אם נרצה להמיר ליחידות שמבוססות דצ"מ -- אין בעיות -- כל מטר נחליף בעזרה דצ"מ ונקבל:
1 מ"ק = 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ = 10 בשלישית דצ"מ בשלישית = 1000 דצ"מ בשלישית.
יחידת נפח שימושית בחיי היומיום היא הליטר (ראו למשל בבקבוקי השתייה שלכם). 1 ליטר היא 1 דצימטר בשלישית. לחלקכם על הבקבוק יחידת הנפח אינה בליטר אלה ב-cc -- זאת יחידת נפח שמבוססת על הסנטימטר. אין לנו בעיה -- נשתמש ביחס שבין דצימטר אחד לסנטימטרים: יש עשרה סנטימטרים בדצימטר אחד ולכן:
1 ליטר = 1 דצ"מ בשלישית = 10 בשלישית ס"מ בשלישית (מסמנים ס"מ בשלישית בלועזית ב-cc כי זה centimeter cube) וקיבלנו שליטר אחד שווה ל-1000cc. לכן בקבוקים בנפח זהה של חצי ליטר ושל 500cc מכילים אותה כמות מים.

ראינו שהממדים מתאימים לחזקות של העשר ביחידות שלנו.

כמה תרגילים לחידוד העניין:
כמה cc  יש ב-3 דצמ"ק?
כמה סמ"ק במטר מעוקב?
כמה סמ"ק יש ב-8 מטר מעוקב?
כמה דונם יש ב-8 קמ"ר?

לסקרנים ולחובבי הקריאה אני ממליץ לקרוא הכול לפי מידה, המסע בן שבע השנים ששינה את העולם  מאת קן אלדר (ראו ביקורת בעיתון הארץ) וספר שהוא בין הבדיה לבין האמת בשם מודדים את העולם מאת דניאל קלמן (ראו קישורים לביקורות באתר ההוצאה לאור וגם בסקירה ביומן הרשת שלי).

בשבוע הבא בדעתי להסביר על מושג שנמצא באזור הדמדומים שבין המושגים המוגדרים היטב בגיאומטריה לבין מושגי היסוד -- הזוית. מה זה זווית? מה היא מייצגת? איך מקובל להגדיר אותה? מה הבעיות בהגדרות המקובלות? איך כן להגדיר זווית? איך מודדים זווית? מדוע מודדים זוויות כך ולא אחרת? על כל אלה ועוד במפגש הבא.


המורה,
שלמה יונה

‏אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה