יום חמישי, 1 במרץ 2012

כיצד משתמשים במחוגה? מיומנויות בסיסיות

שיעור מספר 10: המחוגה ושימושיה

למדנו על הגדרת הזווית, מה מודדים בזווית, על מד-הזווית ואפילו התנסינו בהכנת מד-זווית מקיפולי נייר לזוויות שונות וראינו שאפשר לבצע פעולות חשבון בסיסיות (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) בזוויות. אפילו יש לנו כינוי ליכולת לבצע את 4 פעולות החשבון הבסיסיות בזוויות: אריתמטיקה של זוויות.

הפעם נתחיל בשימוש בכלי חשוב, המחוגה. המחוגה תשמש אותנו לשרטוט מעגלים, לשרטוט קשתות (קשת היא חלק ממעגל) וגם להעתקת קטעים. המחוגה מורכבת משני מוטות, שמכונים שוקי המחוגה או רגלי המחוגה. השוקיים מחוברות בציר בחלק של המחוגה שבו אוחזים. בקצה השני של אחת השוקיים יש עיפרון או כלי כתיבה אחר. הקצה האחר של השוק השנייה מסתיים בחוד, בד"כ במחט. כדי לשרטט מעגל, נועצים את המחט לתוך הנייר, ומשרטטים עם העיפרון.  ומייד נדגים זאת. בגיאומטריה הסרגל והמחוגה הם הכלים שישמשו אותנו בבעיות בנייה. ראשית נלמד להשתמש במחוגה לשרטוט. בהזדמנות הזאת גם נכיר מושגים שקשורים במעגל ובעיגול.

הפעילות בכתה:

התלמידים מתבקשים להוציא את המחוגות מהקלמרים ולאחוז אותן בידיהם.

בחלק של המחוגה שבו אוחזים יש פעמים רבות חריצים. החריצים הללו נועדו להקל את החזקת המחוגה. חשוב שלא תחזיקו את זרועות המחוגה בעת שרטוט מעגלים: אתם עלולים להזיזן והתוצאה תהיה מעגל שאינו מושלם.

שרטטו מעגל. השטח הכלוא בתוך המעגל נקרא עיגול.  רשמו זאת בתוך המעגל ששרטטתם. רשמו על המעגל (קו הגבול של העיגול) את המילה: מעגל. היקף העיגול נקרא מעגל. הנקודה שבה דקרתם את הדף נקראת : מרכז המעגל או בקיצור, מרכז.

שרטטו מעגל נוסף: העבירו קו ישר ממרכזו אל היקפו. לקו הזה קוראים בעברית: מחוג. בלועזית קוראים לקו הזה: רדיוס. שרטטו באותו עיגול בעזרת סרגל שני מחוגים. על אחד מהם רשמו את המילה העברית ועל האחר את המילה הלועזית. כמה רדיוסים כאלה ניתן לצייר? אין סוף.

פרחים בעזרת המחוגה

שרטטו מעגל. קיבעו עליו נקודה כלשהי. מנקודה זו שרטטו מעגל באותו הרדיוס. המעגל החדש יחתוך את קודמו בשתי נקודות. אל תמשיכו את שרטוט המעגל מעבר לנקודות החיתוך. באותו אופן שרטטו מעגל נוסף באותו רדיוס מאחת מנקודות החיתוך. חיזרו על הפעולה הזאת עד שתקבלו את הפרח. הערה: כדאי לשרטט רק קשתות שתגענה עד לנקודת החיתוך שלהן עם המעגל. אז יתקבל מעגל שבתוכו פרח. אחר כך אפשר לצייר את המעגלים השלמים ולהשוות את התוצאה.

תיאור הבניה:
שרטטתי מעגל כלשהו.
מנקודה כלשהי עליו שרטטתי קשת באותו מחוג כמו של המעגל הראשון. הקשת חיברה שתי נקודות על המעגל המקורי.
מאחת מנקודות החיתוך של הקשת עם המעגל, חגתי קשת באותו מחוג עד לנקודות החיתוך עם המעגל המקורי.
הקשת החדשה חתכה את המעגל המקורי בשתי נקודות. מאחת מהן חגתי קשת באותו מחוג עד לנקודות החיתוך עם המעגל המקורי.

מאחת מנקודות החיתוך שהתקבלו חגתי קשת נוספת באותו מחוג.


באותו אופן המשכתי עד לסיום הפרח.



מורהאיך ניתן לבנות זווית בת 60 מעלות רק עם מחוגה וסרגל? מה הקשר של השאלה הזאת אל שרטוט הפרחים? 

תלמידים: יש 360 מעלות במעגל. כאשר בונים את הפרח רואים ש- 6 פעמים נכנסות הקשתות של אותו המחוג להיקף המעגל. מכאן, שנוצרת זווית בת 60 מעלות על ידי חיבור נקודות החיתוך של המעגל והקשתות עם מרכז המעגל. מחברים אחת מנקודות החיתוך של המעגל והקשתות עם מרכז המעגל. אחר כך יש לחבר נקודת חיתוך סמוכה לראשונה אל מרכז המעגל. נקבל זווית בת 60 מעלות.
בין מחוגים משתי נקודות חיתוך סמוכות יש זווית של 60 מעלות
נחבר את נקודות החיתוך הסמוכות באמצעות מיתר וקיבלנו משולש שווה צלעות
מורה: מה התכונות של המשולש שהתקבל כאשר שרטטנו מחוגים לשתי נקודות חיתוך סמוכות (של קשת עם המעגל) ומתחנו מיתר בין נקודות החיתוך?

תלמידים:
כבר ראינו שהזווית בין שני המחוגים היא בגודל של 60 מעלות.
גם שתי הזוויות האחרות במשולש בגודל של 60 מעלות.
המשולש הוא שווה שוקיים כי יש לו שתי צלעות שוות אורך, כי הן שתיהן מחוגים.
גם המיתר, הצלע השלישית של המשולש באותו האורך כמו המחוגים.
זהו משולש שווה צלעות. אורך צלע כאורך מחוג המעגל.

מורה: המחוגה שלכם עדיין באותו הפישוק (באותו המִפְתח) ששימש אתכם לשרטט את המעגל? בדקו. עתה השתמשו במחוגה כדי לוודא שאורכי צלעות המשולש שוות אורך ושוות למחוג המעגל ששרטטתם. שימו לב שמִפְתח המחוגה בדיוק באורך המחוג.

[התלמידים בודקים]


מורה: שרטטו מעגל נוסף. נסמן שוב על השרטוט את המושגים: בנקודה שבה דקרתם את הדף רשמו: מרכז. בתוך השטח שתחם המעגל רשמו: עיגול. המרחק של המרכז מהיקף העיגול הוא מחוג (רדיוס) המעגל/העיגול. במעגל ששרטטתם העבירו קו מנקודה אחת בהיקפו לנקודה שנייה בו. הקו יעבור דרך מרכז העיגול. לקו הזה קוראים: קוטר. רשמו את המילה קוטר במקום המתאים. כמה רדיוסים מכיל הקוטר?
תלמידים: ??
מורה: כמה פעמים נכנס הרדיוס בקוטר?
תלמידים: שתי פעמים. פעמיים.
מורה: כמה קטרים יש למעגל?
תלמידים: אינסוף
מורה: כמה קטרים יש לעיגול?
תלמידים: אינסוף
מורה: היקף העיגול הוא המעגל. העיגול הוא השטח שבתוך המעגל. שרטטו עיגול נוסף. העבירו קו ישר מנקודה כלשהי על המעגל לנקודה כלשהי אחרת עליו, הימנעו מלהעבירו דרך מרכז העיגול

זאת הזדמנות בשבילנו לדבר על "מקרה פרטי" ועל "מקרה כללי". 

 [דיון]

המקרה הכללי הוא התוצאה של קיום הכלל שמגדיר מי הם האיברים בקבוצה-- מאפיין את כל האיברים בקבוצה שהכלל מגדיר. בדוגמה שלנו הקבוצה היא מיתרים במעגל. מיתר הוא קטע בין שתי נקודות שנמצאות על המעגל. מיתרים עוברים בעיגול. המקרה הפרטי מקיים את הכלל, ז"א את המקרה הכללי, אך מוסיף לו תכונה מיוחדת שאינה משותפת לכול האיברים בקבוצה. בדוגמה שלנו, הקוטר הוא מקרה פרטי של מיתר. הוא עונה להגדרה של מיתר אך יש לו תכונה מיוחדת, הוא עובר דרך מרכז המעגל. בדוגמה  שלנו: כל קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל הוא: מיתר. מקרה פרטי מתייחס אך ורק למקרה אחד או מקרים אחדים מתוך כלל המקרים. כל המיתרים מקיימים את התנאי הנדרש מהם על מנת שיהיו מיתרים. בדוגמה שלנו: יש מיתרים העוברים דרך מרכז המעגל והם : קטרים. לא כל המיתרים מקיימים את התנאי של מעבר דרך המרכז. בניסוח אחר: יש מיתרים שאינם עוברים דרך המרכז, ולכן הם אינם קטרים. 

ישר המחבר שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.
שרטטו מיתרים אחדים בעיגול ששרטטתם, חלקם יעברו דרך המרכז ויהיו: קטרים , חלקם יחברו שתי נקודות על ההיקף ולא יעברו דרך המרכז.

מורה: נסו לשער , מהו המיתר הגדול ביותר?
תלמידים: הקוטר.
מורה: בדקו את השערתכם על ידי מדידת המיתרים השונים ששרטטתם. חשוב שתדעו: אישוש ההשערה במעגל אחד אינו מספיק כדי לאמת אותה באופן כללי. יש לבחון את ההשערה במעגלים שונים. חשוב להדגיש שגם בחינה של מספר רב של מעגלים עדיין איננה מבטיחה שלפנינו חוק מתמטי כולל, רק הוכחה פורמלית מסודרת מהווה אישור לכלליותו של החוק. נעסוק בכך בהמשך השנה. בינתיים, רשמו במחברות את מסקנותיכם:
  • הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר במעגל
  • הקוטר מכיל שני מחוגים (שני רדיוסים)
  • אורכו של כל מחוג (כל רדיוס) הוא מחצית מאורך הקוטר
  • חלק ממעגל נקרא: קשת.
מורה: שרטטו מעגל. אִמְדוּ רבע ממנו וצבעו אותו באדום. הראו לי. עתה צבעו את הרבע המתאים של העיגול בצבע אחר. מה ההבדלים (דומה ושונה) בין רבע ממעגל לבין רבע מעיגול?

[דיון]

צבעו בירוק את החלק שנותר. אורך הקשת הירוקה הוא 3/4 מאורך המעגל.

שרטטו מעגל שקוטרו שונה מקוטר המעגל הראשון.

צבעו 1/2 ממנו בכחול. אורך הקשת הכחולה הוא מחצית מאורך המעגל .

סיכום השיעור:
למדנו שאפשר לצייר ציורים בעזרת מחוגה.
למדנו את המושגים: מעגל , עיגול , רדיוס , מחוג , מרכז , קוטר, מיתר, קשת .
הבחנּוּ בין שטח לבין הקו שמקיף אותו שהוא ההיקף.

בחנו את ידיעותיכם:
1. הקוטר הוא המיתר הגדול ביותר, הוא המיתר המחבר שתי נקודות על המעגל ועובר דרך מרכז המעגל.
2. העיגול הוא השטח הכלוא בתוך המעגל.
3. המעגל הוא היקף העיגול.
4. מיתר הוא קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.
5. הרדיוס הוא הקטע המחבר את מרכז העיגול עם נקודה על המעגל.
6. לרדיוס קוראים גם מחוג.
7. בתוך קוטר יש בדיוק שני רדיוסים.
8. ההיקף הוא הקו הסוגר את הצורה.
9. חלק המעגל נקרא קשת.
10. מרכז זו הנקודה שכל הנקודות על המעגל נמצאות במרחק שווה ממנה.

עניתם על 10 הגדרות. בדקו על כמה מתוכן עניתם נכון. תנו לעצמכם ציון. רשמו אותו בשבר פשוט, לדוגמה: 9/10, או 10/10.

עם המחוגה הצלחנו לצייר פרחים, בשיעור הבא נתחיל להשתמש במחוגה לצרכים מעשיים.


המורה,
שלמה יונה

* השיעור מבוסס על החומר מפרק הגיאומטריה של תלמה גביש באתר לדעת חשבון וברשות המחברת.



אין תגובות:

פרסום תגובה