כיצד חוצים זווית בסרגל (ללא שנתות) ובמחוגה?

שיעור מספר 12: כיצד חוצים זווית בסרגל (ללא שנתות) ובמחוגה?

מתוך האתר: "מאוקלידס ועד לאלגברה מופשטת"

בשיעור הקודם למדנו מהו אנך לישר (או לחלק מישר), כיצד חוצים בעזרת סרגל ומחוגה קטע נתון וגם בנייה של אנך לישר מנקודה. ראינו שכאשר אנחנו חוצים קטע בעזרת סרגל ומחוגה אנחנו גם יוצרים אנך אמצעי.

בשיעור היום נעסוק בחצייה של זוויות. בשיעור מספר 9, כשלימדתי אתכם להכין מדי זווית מקיפולי נייר, ראינו שאנחנו יכולים לבצע אריתמטיקה (חשבון) של זוויות מסויימות בעזרת קיפולי נייר. אחד הדברים שראינו הוא שאנחנו בקלות יכולים לקבל חצי מגודלה של זווית על ידי קיפול הדף שמייצג את הזווית כך ששוקי הזווית מונחות זו על גבי זו. חלק הישר שנוצר על ידי הקיפול משמש חוצה זווית והוא ביחד עם כל אחת משתי השוקיים של הזווית המקורית מגדיר זווית שגודלה מחצית מהגודל של הזווית המקורית.

חציית זווית

 עתה נחצה זווית באמצעות סרגל (ללא שנתות) ומחוגה. למעשה, אנחנו בונים חוצה זווית.

בניית חוצה זווית בסרגל ללא שנתות ובמחוגה -- מתוך ויקיפדיה בעברית (ערך: חוצה זווית)

• שרטטו זווית חדה כלשהי. 
• מקדקוד הזווית חוגו קשת במחוג כלשהו.
• הקשת תחתוך את שוקי הזווית בשתי נקודות. כל נקודת חיתוך על שוק אחת.
• מאחת מנקודות החיתוך של הקשת עם שוקי הזווית נחוג קשת במחוג כלשהו.
• מנקודת החיתוך השנייה נחוג קשת באותה מחוג.
• הקשתות תחתכנה בשתי נקודות. לשם הנוחיות נשתמש בנקודה שבתוך הזווית. נחבר אותה לקודקוד הזווית על ידי קו ישר.  הישר הזה הוא חוצה זווית.

אַמְּתו את נכונות הבנייה על ידי מדידה.

אפשר לייעל את הבנייה על ידי כך שנחוג מראש את הקשתות באופן שהן תחתכנה בתוך הזווית. נקודת החיתוך שמחוץ לזווית מיותרת. אפשר להשתמש רק בנקודת החיתוך שמחוץ לזווית . מכל מקום, אין צורך לקבל שתי נקודות חיתוך של הקשתות. מספיקה נקודת חיתוך אחת או בתוך הזווית או מחוצה לה.

עדיפה נקודת החיתוך שבתוך הזווית, כי אז איננו חורגים מתחומי הזווית.

עתה ננסה שוב, הפעם נשיים את הנקודות, זאת אומרת נתן לכל נקודה שם. נזכור שנקודות מסמנים באותיות לטיניות גדולות. השלבים:

• שרטטו זווית חדה כלשהי. 
• נסמן את קודקוד הזווית באות A.
• מקדקוד הזווית, A,  חוגו קשת במחוג כלשהו.
• הקשת תחתוך את שוקי הזווית בשתי נקודות. כל נקודת חיתוך על שוק אחת.
• נסמן את נקודות החיתוך הללו באותיות B ו-C.
• מאחת מנקודות החיתוך של הקשת עם שוקי הזווית, מנקודה B, נחוג קשת במחוג כלשהו.
• מנקודת החיתוך השנייה, מנקודה C, נחוג קשת באותה מחוג.
• הקשתות תחתכנה בשתי נקודות. לשם הנוחיות נשתמש בנקודה שבתוך הזווית.
• את נקודת החיתוך של הקשתות שנמצאת בין שוקי הזווית נסמן באות D.
• נחבר את נקודה D לקודקוד הזווית, A, על ידי קו ישר.  הישר שעובר דרך הקטע AD הוא חוצה זווית.

נאמר שהישר שעובר דרך הקטע AD חוצה את BAC ∠ (זווית BAC).

קיבלנו שמתקיים  BAC = ∠ BAD + ∠ CAD ∠ (אומרים: זווית BAC שווה לסכום הזוויות BAD ו-CAD).

באותו אופן חצו זווית ישרה וזווית קהה.

סיכום הבניות עד כה

למדנו בשיעור הקודם ובשיעור הזה עד עכשיו את הבניות הבאות:

העתקת קטע, חציית קטע, הורדת אנך, אנך אמצעי, העמדת אנך, חציית זווית. 

השתמשנו במחוגה ובסרגל. הסרגל שימש אותנו רק לשרטוט קווים ישרים. לא נעזרנו ביחידות שמסומנות עליו.

בניית זוויות בסרגל ובמחוגה


עתה, כדי להשלים את מה שעשינו כשלמדנו לבנות מדי זווית לזוויות שונות באמצעות קיפולי נייר, נעשה זאת גם באמצעות סרגל ומחוגה.

אז, זווית של 90 מעלות אנחנו כבר יודעים לבנות באמצעות סרגל ומחוגה. כיצד?
[דיון]
כשלמדנו להעמיד אנך לקטע בעצם יצרנו זוויות של 90 מעלות.

כיצד נבנה זוויות של 45 מעלות?
[דיון]
היום למדנו לחצות זוויות. אז אם אנחנו יודעים לבנות זווית ישרה וגם יודעים לחצות זוויות אז קל וחומר שנדע לבנות מהשלבים הללו זווית של 45 מעלות:
1. נבנה קטעים שמאונכים זה לזה
2. קיבלנו זוויות ישרות. נבחר באחת הזוויות הישרות
3. נחצה את הזווית הישרה לפי התהליך שלמדנו בשיעור
4. קיבלנו זווית של 45 מעלות.

בניית זווית של 60 מעלות

1. נשרטט קטע AB: קטע שבקצה אחד שלו נקודה A ובקצה השני נקודה B.
2. נגדיר את פישוק המחוגה כך שקצה של אחת השוקיים בנקודה A והקצה של השוק האחרת בנקודה B.
3. נצייר קשת כאשר חוד המחוגה על נקודה A
4. נצייר קשת כאשר חוד המחוגה על נקודה B
5. נסמן את נקודת החיתוך של שתי הקשתות באות C
6. נעביר קטע בין הנקודות A ו-C
7. קיבלנו זווית BAC בת 60 מעלות -- מדדו בעזרת מד זווית ובדקו.

עתה, כיצד תקבלו זווית בת 30 מעלות?

פעילות (אפשר לעשות בבית)
בעזרת הבניות של הזוויות שלמדנו ובאמצעות בניית חוצה הזווית ובעזרת חיבור זוויות נוכל לקבל זוויות בגדלים שונים. נסו לבנות זוויות בגודל של 105 מעלות (רמז: 60 מעלות ועוד 45 מעלות), 75 מעלות, ועוד גדלים שונים לבחירתם.

סיכום
למדנו היום לבנות חוצה זווית וגם לבנות זווית של 60 מעלות. ראינו שאנחנו יכולים לבנות זוויות של 45 מעלות ושל 30 מעלות באמצעות חציית זוויות של 90 מעלות ושל 60 מעלות (בהתאמה) שאותן אנו כבר יודעים לבנות.


בשיעורים הבאים (אחרי חופשת הפסח) נעסוק במשולשים ובקווי הלוואי שלהם. חופשה נעימה.

המורה, 

שלמה יונה