יום שישי, 27 באפריל 2012

חוצי הזוויות במשולש ואיך בונים מעגל שחסום במשולש


שיעור מספר 15: חוצי הזוויות במשולש
מעגל חסום במשולשמתוך: ויקיפדיה

בהמשך לעיסוקינו בקווי הלוואי שבמשולש בשיעורינו היום נעסוק בחוצי הזוויות במשולש ואיך בונים מעגל שחסום במשולש.

להורים ולמורים



חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת בתוך המשולש בין אם המשולש הוא חד-זוויות, ישר זווית או קהה זווית, לכן מוצגת כאן רק בניה אחת.

כמו בבניות הקודמות, אין מפרטים את תהליכי היסוד בתיאור הבניה, אלא  מסתמכים עליהם. את קווי העזר של הבניות יש להשאיר. התוצר הסופי אמור להיראות בערך כך: 
חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום. רדיוס המעגל החסום הוא המרחק שבין המרכז לבין נקודת המפגש (נקודת ההשקה) של המעגל עם צלעות המשולש. צלעות המשולש משיקות למעגל. 

רצוי לתת לילדים לבנות את חוצי הזוויות גם במשולש ישר זווית וגם במשולש קהה זווית, כדי שיראו שבכל שלושת סוגי המשולשים נקודת המפגש של חוצי הזוויות היא בתוך המשולש.



בחזרה לשיעור

ניזכר מהו חוצה זווית.

הגדרה:
חוצה זווית הוא ישר שעובר דרך קודקוד הזווית וחוצה אותה לשתי זוויות ששוות זו לזו
מורה: בשיעור מספר 9 ראינו שאנחנו יכולים לחצות זווית באמצעות קיפול. בשיעור מספר 12 עסקנו בבניית חוצה זווית בסרגל ובמחוגה. אני מבקש מהתלמידים לכתוב על הלוחות המחיקים האישיים את שלבי הבנייה של חוצה זווית ולהציג. אני מזכיר שנהוג לסמן זוויות באותיות יווניות אז סימנתי אותה באות היוונית אַלְפָא

[התלמידים כותבים, ובה בעת, אני עובר ביניהם כדי למצוא מי מתקשה, מי אינו יודע לאתר את מה שעשינו בשיעור ההוא, מי יודע לכתוב את השלבים גם ללא עיון במחברת ומי זקוק לעיון וכך הלאה] -- התלמידים מציגים את השלבים שכתבו על גבי הלוחות המחיקים האישיים.

תיאור של אחד התלמידים את שלבי בניית חוצה הזוויות

[אחד התלמידים מתבקש לקרוא בקול את השלבים, תלמיד אחר כותב זאת על הלוח ומשרטט -- הכיתה דנה בניסוח ובנכונות].



  1. נתונה זווית α שאותה אחצה לשני חלקים שווים
  2. מהקדקוד A של הזווית  α  חגתי קשת במחוג כלשהו
  3. הקשת חתכה את שוקי הזווית בנקודות C ו - D
  4. מ - C חגתי קשת במחוג כלשהו שגדול מאורך הקטע CD
  5. וגם מ - D חגתי קשת באותו מחוג
  6. הקשתות נחתכו בנקודה F
  7. חיברתי קטע FA
  8. FA חוצה את  α

חוצי הזוויות במשולש


  1. שרטטו משולש חד זוויות
  2. חצו את זוויותיו בעזרת מחוגה וסרגל
  3. מה גיליתם?

שלושת חוצי הזוויות במשולש חד זוויות נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש

  1. שרטטו משולש ישר זווית חצו את זוויותיו בעזרת מחוגה וסרגל
  2. חזרו על אותה הפעולה במשולש קהה זווית.
  3. מה גיליתם?

גם במשולש חד זוויות, גם במשולש ישר זווית וגם במשולש קהה זווית שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת שנמצאת בתוך המשולש
הגדרה:
מעגל שיש לו נקודת מגע אחת עם כל צלע של המשולש ושכל יתר נקודותיו נמצאות בתוך המשולש הוא מעגל חסום, כי המשולש חוסם אותו מכל עבר.

נקודת מפגש שלושת חוצי הזוויות היא מרכז המעגל החסום של המשולש

היעזרו בנקודות המפגש לשרטוט המעגלים החסומים במשולשים ששרטטתם.

משיקים למעגל

הגדרה:


ישר שיש לו נקודה משותפת יחידה עם המעגל נקרא משיק למעגל.
הנקודה המשותפת של המשיק והמעגל נקראת נקודת השקה.


סמנו את נקודות ההשקה (מהמילה נשיקה) של המעגל החסום על צלעות המשולש (נקודות ההשקה הללו הן הנקודות שמשותפות גם למעגל החסום במשולש וגם למשולש)


בדקו (בעזרת מחוגה וגם בעזרת סרגל) שהמרחק מקודקוד במשולש לכל אחת משתי נקודות ההשקה עם המעגל החסום שעל שוקיו הוא שווה.




שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה משותפת שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודות ההשקה)


סיכום



  1. בנינו חוצי זוויות במשולש
  2. שלושת חוצי זוויות המשולש נפגשים בנקודה אחת שבתוך המשולש
  3. נקודת מפגש חוצי זוויות המשולש הוא מרכז המעגל החסום במשולש
  4. שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה משותפת שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודות ההשקה)
התרשים מתוך: מכון ויצמן, מתמטיקה משולבת, ט', יחידה 25

המורה,
שלמה יונה



אין תגובות:

פרסום תגובה