הגבהים במשולש

שיעור מספר 16: הגבהים במשולש

זהו השיעור הרביעי שעוסק בקווי הלוואי של המשולשים. כיסינו כבר בשיעורים הקודמים את התיכונים במשולש (שיעור מספר 13), את האנכים האמצעיים במשולש (שיעור מספר 14) ואת חוצי הזוויות במשולש (שיעור מספר 15). הפעם נעסוק בגבהים במשולש.

להורים ולמורים

בניית הגבהים מסובכת, כמו גם קביעת גודלם. כדי ללמד את הגבהים יש לחזור על הורדת אנך אל ישר מנקודה נתונה מחוץ לישר.

בניית גבהים של משולש חד זווית

נתון משולש חד זווית ABC. צריך לבנות את גבהיו. לצורך תיאור הבניה נקבע שאחת הדרכים לשיום צלעות המשולש היא באותיות לטיניות קטנות, לפי הקדקוד שמול הזווית.

דוגמה:  מול A תמצא הצלע a

              מול B תמצא הצלע b

              מול C תמצא הצלע c 

הגובה היורד מ - A אל a נקרא   h_a

הגובה היורד מ - B אל b נקרא h_b

הגובה היורד מ - C אל c נקרא h_c

תיאור הבניה

מ - A חגתי קשת במחוג כלשהו (הגדול מהמרחק בין A ל - a ) . הקשת חתכה את a או את המשכה בנקודות E ו - F.

מ - F חגתי קשת במחוג כלשהו הגדול ממחצית EF.

מ - E חגתי קשת באותו מחוג.

הקשתות נחתכו בנקודה G.

חיברתי GA .

 

AG  a

הורדנו אנך מ - A אל a .

האנך הזה חתך את a בנקודה H.

AH הוא הגובה לצלע a.

נבנה את הגובה ל - b.

נוריד אנך מ - B אל b.

מ - B חגתי קשת במחוג כלשהו הגדול מהמרחק של B מ - b.

הקשת חתכה את b ואת המשכו בנקודות K ו - L

מ - K חגתי קשת במחוג הגדול ממחצית KL.

מ - L חגתי קשת באותו מחוג.

הקשתות נחתכו בנקודה Q.

נבנה את הגובה השלישי:                        

הגובה לצלע c.

מ - C נחוג קשת במחוג כלשהו הגדול מהמרחק של C מ - c                                               

הקשת חתכה את הצלע c ואת המשכה בנקודות W ו - X.

מ - W חגתי קשת כלשהי הגדולה ממחצית WX.

מ - X חגתי קשת באותו מחוג.

הקשתות נחתכו בנקודה Z .

חיברתי ZC.

ZC   c

ZC חתך את c בנקודה Y.

הגובה הוא CY.

נדגיש שאורך הגובה הוא אורך האנך מהקדקוד עד למפגש עם הצלע או עם המשכה ולא עד למפגש הקשתות שבעזרתן הורדנו את האנך.

סרטון שמראה כיצד לבנות גובה לצלע במשולש

בחזרה לשיעור

הגדרה:

האנך היורד מקודקוד המשולש אל הצלע שמולו, או אל המשכה , נקרא: גובה.

שרטטו משולש חד זוויות   ABC .

הורידו אנך מהקדקוד A  אל הצלע שמולו BC .

כאשר אתם חגים קשת מ – A אל BC ייתכן שנקודות החיתוך שלה עם BC תהיינה בהמשך BC . לשם כך כדאי להאריך את BC .

לדוגמה:

הנקודות KL הן נקודות החיתוך של הקשת שחגנו מ – A .

מנקודות אלה נחוג שתי קשתות שוות שתחתכנה. נחבר את נקודת החיתוך של הקשתות עם הקודקוד A ונקבל אנך שיורד מ – A אל הצלע BC .

גודלו של הגובה נמדד מהקודקוד A עד לנקודת החיתוך של האנך עם הצלע BC ,

כפי שמראה הקו המודגש בשרטוט.

איזה חוק גיליתם לגבי הגבהים?

שלושת הגבהים במשולש חד זוויות נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש. .

שרטטו משולש ישר זווית  ACB .

הורידו אנך מ – A אל BC .

מה גיליתם?

האנך מ – A אל BC כבר משורטט . הניצב AC הוא האנך הזה.

מסקנה:

AC הוא גם ניצב במשולש ישר הזווית ACB והוא גם גובה.

נסו להוריד אנך מ – B  אל AC .

מה גיליתם?

CB הוא גם ניצב  וגם גובה במשולש ACB.

הורידו אנך מ – C אל הצלע AB .

מסקנה:

שלושת הגבהים במשולש ישר זווית נפגשים בנקודה אחת שהיא קדקוד הזווית הישרה.

שרטטו משולש קהה זווית ABC.

הורידו גובה מ – C אל AB.

השאירו את הקשתות שנעזרת בהן בבניית הגובה, אבל השתדלו לצמצם את היקפן כדי שתוכלו לראות את הגובה.

הדגישו את הגובה, כמו שמודגם בשרטוט.

כדי להוריד את הגובה מהקודקוד A האריכו את הצלע BC .

המנעו מקשתות גדולות מידי, כדי שתוכלו להבחין בגובה, הדגישו את הגובה כמו בשרטוט הבא.

 כדי להימנע מקשתות גדולות מידי חייב הלומד להפעיל בדמיונו אומדן כלשהו כדי שיוכל להעריך את מקום הפגישה של הקשתות.

גם הגובה היורד מ – B אל AC יהיה מחוץ למשולש . בנו אותו בעזרת הסרגל והמחוגה.

הימנעו מקווי עזר גדולים מידי.

חזקו את הגבהים כמו בשרטוט הבא.

שלושת הקווים המושחרים הם הגבהים.

השרטוט כולו, ללא הקשתות ,  ייראה כך:

סרטון שמראה כיצד ניתן למצוא את מפגש הגבהים במשולש

סיכום

• שלושת הגבהים במשולש קהה זווית נפגשים בנקודה אחת  מחוץ למשולש.
• אורך הגבהים נמדד רק מהקודקוד עד לצלע שמולו.
• שניים מהגבהים נפגשים עם המשך הצלעות שמולן ולא עם הצלעות עצמן.
• הגבהים נפגשים במקומות שונים ביחס למשולש.
• במשולש חד זוויות הם נפגשים בתוך המשולש.
• במשולש ישר זווית הם נפגשים בקודקוד של הזווית הישרה  .
• במשולש קהה זווית הם נפגשים מחוץ למשולש , אבל אנחנו מחשבים את אורכם לא עד לנקודת המפגש , אלא עד לצלע שלהם או עד להמשכה.

המורה,

שלמה יונה