שיעור מספר 4: הזווית

בשיעורנו היום נלמד על הזווית. מהי זווית? כיצד מגדירים זווית? מה הבעיות בהגדרות? מדוע קשה להגדיר זווית? מהי הגדרה טובה יותר לזווית? כיצד מודדים זווית? ומדוע כך ולא אחרת? מה השיטות המקובלות ליחידות של זווית?

בשיעור הראשון ובשיעור השני דיברנו על מושגי יסוד שאי אפשר להגדירם: נקודה, ישר, מישור ומרחב. הבנו שגם המושג ממד שבו השתמשנו ועליו הרחבנו בשיעור השלישי הוא מושג יסודי שאיננו מגדירים, אך מרבים להשתמש בו.

הגדרה נועדה לצורך תקשורת. ההגדרה משמשת כקשר של הבנה. הגדרות וסימונים שימושיים בתקשורת כאשר יש הסכמה לפעול לפיהן. הגדרות שימושיות כאשר הן מסבירות מהות. כדי לדעת בדיוק מהו הדבר שעוסקים בו צריך להגדיר אותו.

לצורכי תקשורת נסכים (נאמץ הסכמות מקובלות בעולם) על סימונים:

נקודות נסמן באותיות לטיניות גדולות.
ישרים נסמן באות לטינית קטנה.
קטעים נסמן באמצעות זוגות של אותיות לטיניות גדולות: כל אות מתאימה לסימון קודקוד: הקטע מוגדר בסימון באמצעות סימוני זוג הקודקודים שמשמשים כקצות הקטע.

הגדרה מקובלת של זווית בספרי לימוד במתמטיקה ובמילונים:

שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת יוצרות זווית

ישנן 4 בעיות בהגדרה מקובלת זאת:

1. אמירה ריקה -- מילה זהה -- איזו משמעות יש להגדרת מהותו של מושג באמצעות אותו המושג? זה כמו להגדיר שולחן באופן הבא: "שולחן הוא שולחן ש..." -- זהו פגם יסודי להשתמש במילה זווית בהגדרת הזווית. [יש מי שמכנים ליקוי מסוג שזה במילה טאוטולוגיה (מיוונית: מילה זהה), אך מושג זה קיבל משמעות מקובלת שונה בלוגיקה כפסוק שהוא תמיד אמת].
2. ההגדרה אינה מסבירה מהותה של הזווית אלא מסבירה כיצד לבנות זווית. זאת הגדרה אופרטיבית וגם ככזאת אינה מצטיינת בבהירות כפי שנלמד מהליקויים הבאים.
3. שתי קרניים שיוצאות מאותה הנקודה יוצרות שתי זוויות ולא זווית אחת. (השתיים משלימות ל-360 מעלות, לפעמיים פאי או ל-400 גראד, תלוי בשיטת המדידה)
4. הזווית נוצרת גם על ידי חלק מהקרניים ואין צורך בקרניים במלואן.

התלמידים הבריקו -- מצאו דיי מהר את הבעיות המהותיות! הייתה הפתעה שהגדרה מקובלת שנראית תמימה ונכונה היא כל כך בעייתית בכל כך הרבה מובנים.

הסברתי לתלמידים שהם צריכים לקרוא הגדרות בעיון ולהבין ואם יש בעיה בהבנה -- צריך לחקור ולהעמיק ולרדת לשורש העניין -- אין לקבל כל דבר כאמת ללא בדיקה וללא ביקורת.

לזווית יש מרכיבים: לנקודה נקרא קודקוד ולקרניים נקרא שוקיים.

ההקשר שבו נעסוק יקבע את המילה שבה נשתמש. המילה מקבלת משמעות מההקשר. לכן, לפעמים נאמר נקודה ולפעמים קודקוד; לפעמים נאמר קרניים שיוצאות מאותו הקודקוד ולפעמים נאמר שוקיים.

הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:

חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת

השגיאות כאן:

1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
3. גם כאן, יש פה שתי זוויות ולא אחת...
4. גם כאן אין צורך בכל קרן כולה, גם קטעים יספיקו...

לא לחינם קשה להגדיר את הזוית, היא מהמושגים הראשונים שאותם מנסים להגדיר באמצעות מושגי היסוד והעניינים עדיין לא ברורים. לכן ננסה להבין את הזווית באמצעות שיטת המדידה שלה. לבסוף נגדיר זווית באופן פחות בעייתי ומדויק בהרבה -- באופן שיהיה ברור מתוך אופן המדידה.

הגדרה טובה יותר לזווית:

נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.

ההגדרה הזאת מאפשרת לנו לדמיין את הזווית ולהשתמש בדימויים כמו מחוגים של שעון. ההגדרה אינה אומרת לנו מהי "כמות הסיבוב" וכיצד מודדים את כמות הסיבוב. בזאת נעסוק בשיעור הבא.

אז מה בעצם מודדים בזווית? מדוע? מה נשמר? מה אינו נשמר?

עד לכאן הגענו בשיעור שלנו הפעם -- על אופן המדידה, על השמוּרות (מה שנשמר) ועל מה שאינו נשמר נדון ונלמד בפעם הבאה שניפגש. זה יקרה אחרי חופשת הפסח.

המורה,

שלמה יונה