מיון ופתרון תרגילים מסכמים של כתה ו' בנושא יחס

מרכז המורים הארצי למתמטיקה בחינוך היסודי פרסם דפי חזרה ותרגול לתלמידי כתות ו'. ליקטתי מתוכם תרגילים ובעיות בנושא היחס כדי להדגים את הרעיונות שעלו בשיעור מספר 12 שעסק במשמעויות היחס.

מתוך דף חזרה מספר 4 לכתה ו':

א. חשבו את כמות הצבע הדרושה לצביעת חדר, בממדים 4 × 6 × 3 (אורך החדר 6 מ', רוחבו 4 מ' וגובהו 3 מ') אם ידוע שלצביעת כל 2 מ"ר, משתמשים ברבע ליטר צבע.

ב. כמה ליטרים של צבע צריך לצביעת חדר בממדים: 4 × 3 × 3?

(אורך החדר 3 מ', רוחבו 4 מ' וגובהו 3 מ')

פתרון: הבעיה אמנם מכוונת כנראה לידע ולהבנה בחישוב נפח תיבה, אולם לדעתי הבעיה הופכת קלה מאוד אם פותרים אותה מתוך ראיה של היחסים. מדובר במשמעות הראשונה של היחס כפי שהצגנו בשיעור מספר 12. לפנינו 3 משטחים שוני שטח שמכל אחד מהם יש שניים: שני קירות בעלי שטח של 18 מ"ר, שני קירות בעלי שטח של 12 מ"ר ועוד רצפה ותקרה שכל אחת מהן בעלת שטח של 24 מ"ר. נניח שצובעים את הכול (אף על פי שטרם ראיתי חדרים שבהם צובעים גם את הרצפה... ושאין אף חלון ואף פתח לדלת או למעבר... מוטב היה לדבר על תיבה שצובעים.) ונעבור לטיפול ביחס: נתון יחס של 1/4ל':2מ"ר אבל היחס אינו מוצג באופן המקובל. נרחיב ונקבל 1ל':8מ"ר אבל נוח יותר במקרה הזה לעבוד עם כמות צבע ליחידת שטח ולכן נהפוך את היחס הנתון ונציגו בתור 1מ"ר:1/8ל', זאת אומרת שצריך שמינית ליטר של צבע לצביעת 1מ"ר. מכאן קל מאוד להמשיך: זוג הקירות ששטח כל אחד מהם 18מ"ר ידרוש 36/8ל' צבע. זוג הקירות ששטח כל אחד מהם 12מ"ר ידרוש 24/8ל' צבע והתקרה והרצפה ששטח כל אחת מהן 24מ"ר ידרשו 48/8 ל'. נחבר ונקבל: 13.5=108/8=8/(36+24+48). ולפיכך התשובה היא שיידרשו 13.5 ליטרים של צבע.

לפתרון סעיף ב', נבחין שאחד הממדים קטן פי 2 ולכן השטחים שיש לצבוע משתנים בהתאמה ל- 9מ"ר לקיר מהסוג הראשון, (קטן פי 2) 12מ"ר לסוג השני (ללא שינוי) ו-12מ"ר לרצפה ולתקרה (קטן פי 2). יש שימור בכמות הצבע ליחידת שטח ולכן התרגיל יהיה: 8.5=66/8=8/(18+24+24), ולכן נדרשים 8.5 ליטרים של צבע.

מתוך דף חזרה מספר 7 לכתה ו':

צבעו את העיגולים בשני צבעים, אדום וכחול, כך שהיחס בין מספר העיגולים האדומים לבין מספר העיגולים הכחולים יהיה 3:1. (כל עיגול צובעים בצבע אחד בלבד)  [מצויירים 20 עיגולים]

פתרון: שוב מדובר במשמעות הראשונה של היחס. אם היחס בין האדומים לבין הכחולים הוא 3:1 אזי מכל 4 עיגולים יש לצבוע 3 עיגולים באדום ועיגול אחד בכחול. משום שישנם 20 עיגולים אז יש 5 רביעיות של עיגולים ולכן נצבע 5 פעמים 3 באדום ו-5 פעמים 1 בכחול. בסך הכל צבענו 15 עיגולים באדום ו-5 בכחול. נבדוק את התשובה ונראה ש-3:1=15:5.

דרך אחרת היא להרחיב את היחס כך שהסכום של המונה ושל המכנה יהיה 20 וכמובן שהרחבה ב-5 תתן 15:5 ומכאן התשובה.

יורם שרטט 21 עיגולים ריקים ורצה לצבוע אותם בשני צבעים ביחס 1:3. האם יצליח לצבוע את העיגולים? נמקו. הציעו ליורם יחס אחר, כך שיוכל לצבוע את 21 העיגולים בשני צבעים לפי יחס זה.   

פתרון: שוב, המשמעות הראשונה של היחס. צריך להיות שלכל יחידה של א' יהיו 3 יחידות של ב', זאת אומרת שצריכים שהכמות הכוללת תתחלק ללא שארית ב-4, אבל 21 נותן שארית 1 בחלוקה ב-4 ולכן יורם לא יצליח לצבוע את העיגולים לפי רצונו. יחס אחר צריך לאפשר חלוקה ללא שארית של 21. 21 מתחלק ללא שארית ב-3 ולכן אפשר להציע יחס של 2:1 למשל.

שרטטו 36 עיגולים, ורצו לצבוע אותם בשני צבעים, אדום וכחול לפי יחס מסוים. סמנו את היחסים האפשריים לפיהם ניתן לצבוע את העיגולים. היחס בין מספר העיגולים האדומים למספר העיגולים הכחולים יכול להיות: 

א. 1:3 ב. 1:4 ג. 1:5 ד. 1:6 ה. 1:8 ו. 4:5

• לכל סעיף שסימנתם ציינו כמה עיגולים יהיו מכל צבע.

• לכל סעיף שסימנתם ציינו איזה חלק מהווים העיגולים האדומים מכלל העיגולים.

פתרון: מדובר במשמעות הראשונה של היחס והסעיף האחרון עוסק במשמעות השנייה של היחס. היחסים שמוצאים ב-א', ג', ה' ו-ו' מתאימים כי 36 מתחלק ללא שארית ב-4, 6, 9 ושוב ב-9 (בהתאמה). א': יש 9 רביעיות ולכן יהיו 9 אדומים (רבע מכלל העיגולים) ו-27 כחולים. ג': יש 6 שישיות ולכן יהיו 6 אדומים (שישית מהעיגולים) ו-30 כחולים. ה': יש 4 תשיעיות ולכן יהיו 4 אדומים (תשיעית מהעיגולים) ו-32 כחולים. ו': יש 4 תשיעיות ולכן יהיו 16 (ארבע תשיעיות) אדומים ו-20 כחולים.

לילך רצתה לצבוע את העיגולים שמשרטטת בשני צבעים שונים וביחס של 2:3, הציעו ללילך כמה עיגולים עליה לשרטט כדי שתוכל לצבוע אותם ביחס של 2:3. הציעו שתי אפשרויות.  

פתרון: שוב מדובר במשמעות הראשונה של היחס. נדרשים על כל 2 מצבע א', 3 מצבע ב'. ולכן על הכמות הכוללת של העיגולים שתשרטט לילך להתחלק ללא שארית ב-5=2+3. אז היא יכולה לשרטט למשל 5 עיגולים או 50 עיגולים.

סיכום: מצער שאין בין התרגילים המוצעים לחזרה ולתרגול בעיות שעוסקות במשמעויות השלישית והרביעית של היחס ובמצבים מאתגרים יותר. האם זאת משום שהציפייה מהתלמידים נמוכה? מה זה מעיד על רמת הוראת המתמטיקה ועל היכולות של התלמידים שמסיימים כתה ו'? האם המורים אינם מספיקים או אינם יכולים ללמד את החומר הקשה יותר של המשמעויות השלישית והרביעית? האם מתוך חוסר הבנה שלהם? האם בגלל הפערים שנפערים בין יכולות התלמידים? לא ברור...