שיעור מספר 10: משמעות הכפל

משמעות הכפל

בשיעור ננסה להבין מה זה בעצם כפל ומה משמעות הפעולה. נשתמש בהבנה הזאת וננסה להבחין בין שתי משמעויות שונות של פעולת החילוק. לחילוק יש מספר משמעויות שהאבחנה ביניהן היא מפתח להבנה ולשליטה בנושאים רבים נוספים כמו שברים, אחוזים, יחסים ולנושאים מתקדמים יותר במתמטיקה.

מורה: נזכר בפעולת החיבור. לפנינו בעיה חשבונית:

על השולחן יש 3 צלחות ובכל אחת מהן יש עגבניות. בצלחת אחת 4 עגבניות, בשנייה 2 עגבניות ובשלישית 6 עגבניות. כמה עגבניות יש בסך הכול על השולחן?

מורה: כיצד תפתרו?
תלמידים: נחבר 4 עגבניות ועוד 2 עגבניות ועוד 6 עגבניות ונקבל 12 עגבניות בסך הכול.
מורה: הנה איור שמדגים את הפעולה שנרצה לבצע

אנו רואים שיש לנו סכום, 12 עגבניות, ושלושה מחוברים: 4 עגבניות, 2 עגבניות ו-6 עגבניות. התרגיל המתאים הוא לפיכך

12 = 6 + 2 + 4

נעבור עכשיו לבעיה אחרת:

על השולחן יש 3 צלחות ובכל אחת מהן יש 4 עגבניות. כמה עגבניות יש בסך הכול על השולחן?

 תלמידים: [מתפרץ] 4 ועוד 4 ועוד 4, יוצא בסך הכול 12 [במקביל לו מתפרצת תלמידה אחרת] 3 פעמים 4 זה 12
מורה: [חוזר באופן מסודר על הדברים שנאמרו]. הבא נבין את הדומה ואת השונה בין שתי ההצעות שקיבלנו ונשאל את עצמנו האם מדובר בשני המקרים בדרכים נכונות וטובות? מדוע?
[דיון]

מורה: הגענו למסקנה שכאשר יש לנו קבוצות שוות גודל אנחנו יכולים לעבור מחיבור רגיל לחיבור חוזר ולספור כמה  פעמים יש לנו את הכמות שחוזרת על עצמה -- זאת בדיוק פעולת הכפל. יש לנו שלוש פעמים 4 עגבניות. 3 משמש כופל, מונה את מספר הפעמים שבהם נחזור על המחובר 4, הנכפל,  בפעולת החיבור -- כאמור, כפל הוא חיבור חוזר. לתוצאה של פעולת הכפל אנו קוראים מכפלה. בכפל אנו מקבלים את השלם על ידי חיבור חוזר של החלקים שחייבים להיות קבוצות שוות גודל.

ננסה לתאר בתרשים את הבעיה החשבונית

למכפלה ולנכפל יש את אותו הכינוי.
לכופל איננו מצמידים כינוי כי הוא מונה את מספר הקבוצות.

משימות:

1. נסו להמציא בעיה חשבונית שבה הכופל הוא 9  והנכפל הוא 8  ופתרו אותה. זכרו לציין את הכינויים.
2. המציאו בעיה חשבונית שבה הכופל הוא 8  והכפל הוא 9  ופתרו אותה. זכרו לציין את הכינויים.

דיון: נביט בשני התרגילים שמתאימים למשימות שקיבלתם

8 x 9 = 72

9 x 8 = 72

האם שמונה כפול תשע ותשע כפול שמונה זה אותו הדבר?
[דיון]
מורה: אם אני קונה 10 מכוניות צעצוע במחיר של 4 ש"ח לכל מכונית כמה שילמתי?
תלמידים: 40 ש"ח: 10 פעמים 4 ש"ח הם 10 כפול 4 ש"ח.
מורה: עכשיו אני קונה 4 מכוניות צעצוע במחיר של 10 ש"ח למכונית. כמה שילמתי?
תלמידים: 40 ש"ח: 4 פעמים 10 ש"ח הם 4 כפול 10 ש"ח.
מורה: מה מצבי בשתי הפעמים? מה? לא אותו הדבר? הרי שילמתי את אותו סכום כסף ובשני המקרים קניתי מכוניות צעצוע...
תלמידים: ברור שמצבך טוב יותר במקרה הראשון, כי קיבלת יותר מכוניות צעצוע בעבור אותו סכום כסף.
מורה: אתם עדיין חושבים שנכון לומר שבגלל חוק החילוף 10 כפול 4 ו-4 כפול 10 הם אותו הדבר? אולי אתם יכולים לתקן את הניסוח של הטענה?
תלמידים: [דיון] -- זה אותו הדבר בתוצאה ולא באמת אותו הדבר. המשמעות שונה כשמחליפים בין הכופל לבין הנכפל.
מורה: נכון. במקרה הראשון 10 הוא מספר טהור, ללא כינוי, והוא מונה את מספר הפעמים שאצטרך לשלם 4 ש"ח. נבחין כי 4 מקבל כינוי: הנכפל מקבל כינוי בפעולת הכפל וגם למכפלה, לתוצאת הכפל, יש כינוי והוא אותו הכינוי שיש לנכפל. במקרה השני המצב הפוך: ה-4 מספר טהור שמונה את מספר הפעמים שנשלם 10 ש"ח.

הנה סרטון שבו מוסברת משמעות הכפל, כפי שלמדנו:
חילוק


בעיה חשבונית:

בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה ב-3 קעריות. כמה עגבניות תהיינה בכל קערית?

 [דיון]

התשובה היא כמובן 4. הפעולה היא פעולת חילוק. הנה תרשים לתיאור הבעיה ופתרונה

• בכפל השלם הוא המכפלה.
• בחילוק השלם הוא המחולק.
• החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל זהו הכופל. בחילוק לחלקים זהו המחלק. 
• בכפל מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית  הוא הנכפל.
• בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.

דוגמה נוספת:
קיבלתי מרשם לקחת תרופה פעם אחת ביום במשך עשרה ימים. בסך הכול אצרוך 10 כפיות. האם תקין שאצרוך ביום אחד את כל עשר הכפיות? האם זה יועיל לבריאותי? מה יהיה מצבי?
כנראה ש-10 פעמים 1 ו-1 פעמים 10 זה אותו הדבר רק בתוצאה ולא במשמעות. ראינו את זה גם בחיבור דינמי בשיעור מספר 7.

קריאה נוספת למתעניינים, להורים ולמורים:

• הא-סימטריה של הכפל האריתמטי, תלמה גביש

המורה,
שלמה יונה