יחידות אורך: על השיטה המטרית והקשר שלה למבנה המספר

שיעור מספר 4: יחידות אורך: על השיטה המטרית והקשר שלה למבנה המספר

בשיעור הקודם הבחנו בצורך להשתמש ביחידות מידה מוסכמות לאורך. יחידת מידה היא כמות מאורגנת, גודל מוסכם וקבוע.  אם כל אחד מודד לפי יחידת מידה שונה אזי יש בעיה בתקשורת בינינו כי ההבנה שלנו לגבי הגודל המדווח תהיה שונה מההבנה של מי שמדד ושדיווח על הגודל. אם אני מודד בבית את גובה חלונות חדר השינה ביחידות אורך של מקל שמצאתי בגינה ואילו בחנות את הוילון נקנה לפי אורך שנמדוד בעזרת אורך של מוט אחר -- נמצא את עצמינו עם וילון שאינו במידות שמתאימות לחלונות בחדר השינה.

מדידה היא אחת הפעולות הפשוטות ביותר שלנו. אנו משתמשים ביחידות מידה בכל פעם שאנחנו מחליפים עצמים ומידע (כמה אגורות בשקל, כמה מטרים בק"מ, כמה דצימטרים מעוקבים בליטר, ...). השכיחות היומיומית הזאת הופכת את המדידה לבלתי נראית. כדי שיחידות מידה תמלאנה את ייעודן בתקשורת בין אנשים עליהן לפעול כקבוצה של הנחות משותפות, כרקע מובן מאליו, שבהתבסס עליו אנו מגיעים למסקנות ומבחינים בהבחנות. ללא יחידות מידה מוסכמות למשל, מדענים אינם יכולים להחליף ממצאים ולהשוותם.

רציף ובדיד:

את העולם סביבנו אנחנו מודדים במספרים, אבל לא לכל המספרים אותה משמעות. חלקם מתארים גדלים בדידים, שמונים עצמים, כמו "3 תפוחים". חלק אחר מתאר גדלים רציפים, כמו טמפרטורה, או משקל. ובאמת, איך "סופרים" טמפרטורה? ומה בדיוק סופר מונה החשמל שבביתכם? 

רציף -- מהמילה רצוף.

בדיד -- מהמידה בודד, יחיד.

זמן, אורך, משקל, כוח, טמפרטורה, לחץ אוויר, אנרגיה – כל אלה הם גדלים רציפים. אי אפשר למנות אותם, וכדי למדוד אותם ממציאים יחידות מדידה שרירותיות. כדי למדוד אורך, למשל, המציאו העברים הקדמונים את ה"אמה", שהיא מידת ארכה של יד מן המרפק עד לכף היד. מלכים ואנשי מעלה אחרים היו משוכנעים שחלקי גופם השונים חוננו בתכונות אלוהיות עד כדי כך שראוי לאמצן כיחידות מידה תקניות. שרלמן (קרל הגדול) הכריז במאה התשיעית לספירה כי אורך כף הרגל שלו יהיה מעתה ואילך אורכה של אמת המידה הקרויה רגל. [מעניין שלפי האורך של כף רגלו ,לכאורה גובהו היה צריך להתנשא הרבה מעל לשני מטרים, בסתירה לעדויות שקיימות על גובהו]. שלוש מאות שנים אחר כך מלך באנגליה הנרי הראשון שקבע שהיארד יהיה המרחק בין קצה חוטמו לקצה אצבע האמה שלו כשידו פשוטה לפניו. הרומאים קבעו שהמיל הוא המרחק שאדם יכול לעבור באלף פסיעות מלאות של גבר. המילה מיל לקוחה מהשפה הלטינית שבה milia passuum משמעותה אלף פסיעות.  כמובן, המידה תלויה בבעל היד, ובאורך הרגל...

מדידות מדויקות דורשות המצאת יחידות קבועות. במקרה של האורך, עשו זאת הצרפתים ב-1791. הם קבעו יחידה שנקראת "מטר", שאותה הגדירו כ-1 חלקי עשרה מיליון מן המרחק בין קו המשווה לקוטב הצפוני. למרות הזמן הממושך והמאמצים הרבים במדידות הן לא היו מדויקות, והיקף כדור הארץ, על פי מידת המטר שנבחרה ושאותה קיבעו במוט עשוי זהב, אינו מספר כה עגול. כיום מוגדר המטר על פי מהירות האור: מטר הוא המרחק שעובר אור בריק ב- 1/299,792,458 שנייה. 

מידות אורך שמבוססות על חלקי גוף הן חלק מהשיטה האימפריאלית. כמה אינצ'ים יש ברגל וביארד וכמה יארדים במיל? 12, 36 ו-1760 בהתאמה. לעומת זאת בשיטה המטרית: כמה מילימטרים בסנטימטר? כמה סנטימטרים במטר? כמה מטרים בקילומטר? 10, 100 ו-1,000 בהתאמה.

השיטה המטרית עובדת באותו האופן שבו עובד מבנה המספר שלנו, בחזקות של 10.

מושג החזקה: 

"חזקה לכפל היא מה שהכפל לחיבור". כפל הוא חיבור חוזר וחזקה היא כפל חוזר: כפל הוא חזרה על חיבור. 3 כפול 2 הוא חיבור 2 לעצמו 3 פעמים: 2+2+2=3x2. בדומה, חזקה היא חזרה על כפל. 2 בחזקת 3 הוא , כפל 2 בעצמו 3 פעמים: 2x2x2. לחזקה יש בסיס ויש מעריך. בדוגמה שלנו, 2 הוא הבסיס ו-3 הוא המעריך.

עשר בחזקת 1 הוא 10: 10

עשר בחזקת 2 הוא 100: 10x10

עשר בחזקת 3 הוא 1000: 10x10x10

.

.

.

[אני מבקש מהילדים להמשיך]

10 בחזקת 4: עשר הוא הבסיס ו-4 הוא המעריך. המעריך אומר כמה פעמים יופיע הבסיס בתרגיל הכפל עם עצמו.

מהו החוק? כל איבר בסדרה גדול מקודמו פי 10. הכתיבה היא פשוטה, המעריך של הבסיס 10 מציין לנו כמה אפסים נראה במספר מימין ל-1.

 הסיבה לפשטות החזקות של 10 היא שהשיטה העשרונית, שבה אנו מייצגים מספרים, מושתתת על חזקות של 10. כל מקום במספר עשרוני מציין חזקה של 10.

יחידות אורך שאנו מכירים בשיטה המטרית:

אילו יחידות מידה של אורך אנו מכירים? ביקשתי מהתלמידים למלא בלוחות המחיקים ואז במחיאת כף להפנות את הלוחות אליי. סיכמתי על הלוח:

• מילימטר -- מ"מ -- אלפית המטר -- במטר יש 1,000 מילימטר
• סנטימטר -- ס"מ -- מאית המטר -- במטר יש 100 סנטימטר
• דצימטר -- דצ"מ -- עשירית המטר -- במטר יש 10 דצימטר
• מטר -- מ' 
• קילומטר -- ק"מ -- בקילומטר יש 1000 מטר

רשמנו גם מידות נוספות.

הסברתי: היחידה הבסיסית לאורך היא המטר. משום השימושים הרבים והשונים והצרכים השונים למדידות בקני מידה שהם גדולים יותר ממטר וקטנים יותר ממטר הוגדרו יחידות מידה שמבוססות על המטר -- למעשה, הן מכפלות בחזקות של עשר על יחידת המטר:

1 מטר; נסמן 1 מ'. זה שווה ל-10 דצימטר; נסמן 10 דצ"מ. זה שווה ל-100 סנטימטר ונסמן 100 ס"מ. זה שווה ל-1000 מילימטר ונסמן 1000 מ"מ.

דֶקָה -- בלועזית, עשר (10).

דֶצִי -- בלועזית, עשירית (0.1=1/10).

סֶנט -- בלועזית, מאה (המילה century משמעה עשור)

סֶנטִי -- בלועזית, מאית (0.01=1/100)

מִילֶנִיוּם -- אלף

מִילִי -- אלפית (0.001=1/1000)

אורך אנחנו יודעים למדוד. בשיטה העשרונית, השיטה המטרית, שהיא גם השיטה הבינלאומית שמוסכמת במדע, משתמשים בארץ ובארצות רבות בעולם. כינויי השיטה הבינלאומית ליחידות מידה היא SI, שהן האותיות הראשונות בצמד המילים System International -- מערכת בינלאומית, כאמור. ארצות הברית היא יוצאת דופן בולטת ושם יחידות המידה שונות -- על יחידות המידה בשיטות מידה אחרות ועל ההמרות משיטה לשיטה נלמד בעתיד ולא נתעכב עליהן כאן -- הסקרנים יכולים לנסות לקרוא על האינץ', הרגל, האונקייה וכו' במקורות אחרים -- ויקיפדיה בערך יחידות מידה לאורך או יחידות מידה שאינן תקניות או מערכת היחידות הבריטיות.

בשיטה המטרית היחידות השונות נבדלות אלה מאלה בחזקות של עשר.

גם במבנה המספר היחידות השונות נבדלות אלה מאלה בחזקות של עשר.

סיכמנו את השיעור ונפרדנו לשלום. 

המורה,

שלמה יונה