ישרים מאונכים, חציית קטע, אנך אמצעי

שיעור מספר 11: ישרים מאונכים, חציית קטע, אנך אמצעי

בשיעור היום נעסוק בחלוקה לחלקים שווים של קטעים ובבנייה של אנכים ושל אנכים אמצעיים. כלי העבודה שלנו הם סרגל ומחוגה. אחרי שבשיעור הקודם הכרנו את המחוגה ולמדנו להשתמש בה ואפילו שרטטנו מעגלים, פרחים, משולשים שווי צלעות ואפילו משושים משוכללים, הפעם נמשיך להכיר פעולות בסיסיות בסרגל ובמחוגה.


ישרים מאונכים

הגדרה: ישר מאונך לישר אחר אם נוצרת ביניהם זווית ישרה. לפניכם זוגות של קטעים. [המורה מזמין תלמידים ללוח להקיף זוגות של קטעים שמאונכים זה לזה] התלמידים מסמנים מטרת התרגיל הזה : הבטחה של זיהוי זוויות ישרות בכיוונים שונים. פיתוח שימור החוקיות של האנכות. צבעו בירוק את הזוויות הישרות הנמצאות בין הישרים המאונכים זה לזה. מה למחוגה ולישרים המאונכים? העמדת אנך שרטטו קטע כלשהו. ציינו עליו שתי נקודות כלשהן. נקרא להן: A ו-B. אני מזכיר שאנחנו מסמנים נקודות באותיות לטיניות גדולות.  מ-A נחוג קשת במחוג כלשהו שארוך יותר ממה שאנחנו מעריכים שהוא מחצית אורך הקטע. מ-B נחוג קשת עם אותו המחוג. הקשתות נחתכות בשתי נקודות שנסמנן באותיותC  ו-D. העבירו ישר שיחבר את C עם D. מה קיבלתם? הקטעים AB ו-CD  מאונכים זה לזה. ההנחייה הזאת מלמדת את התלמיד ניסוח מדוייק של הביצוע. בדקו בעזרת מד-זווית אם הזווית בין הישרים ישרה. אפשר לבחון זאת גם על ידי פינה של דף (זוכרים את השיעור שלנו שבו הכנו מדי זווית מקיפולי נייר?). נשים לב שאין לנו צורך במעגלים במלואם. דיי לנו בנקודות C ו-D שבהם המעגלים נחתכים. לכן, אפשר להסתפק בשרטוט קשתות קטנות רק לצורך זיהוי נקודות החיתוך של המעגלים. למדנו שהמחוגה יכולה לעזור לנו לשרטט ישרים מאונכים זה לזה. שרטטו ישר אחר, קבעו עליו 2 נקודות כלשהן. נסו להעמיד לו אנך בדרך שלמדנו. אם הצלחתם, נסו  להעמיד אנך לעוד 3 ישרים שכל אחד מהם יהיה בכיוון אחר. בדקו האם תמיד הישרים מאונכים זה לזה. המחוגה סייעה לנו לבנות ישרים מאונכים זה לזה ללא מדידה. לבניות מהסוג הזה קוראים: העמדת אנך. לפעמים נתונה לנו נקודה על הישר ואנחנו מתבקשים להעמיד אנך לישר הנתון בנקודה נתונה על הישר. שרטטו ישר כלשהו ועליו נקודה, שנסמן אותה ב – A . מ – A חוּגו קשת כלשהי כך שתחתוך את הישר  בשתי נקודות. שיימו (תנו שם) את הנקודות. למען התקשורת נשיים כולנו את נקודות החיתוך באותן האותיות B ו-C. מנקודה C  חוגו קשת במחוג כלשהו הגדול מ – AB (שגדול מהאורך של הקטע AB). מנקודה B  חוגו קשת באותו מחוג. הקשתות תחתכנה בנקודות E ו-F. חברו אתEA    או את FA.  הנקודות A, E ו-F נמצאות על ישר אחד, שמאונך לישר שהתחלנו ממנו. אנחנו אומרים: EF מאונך לישר הנתון בנקודה A.  מורה: אני מציע לתלמידים שניסו ושהצליחו, לנסות ולחוג מנקודה C קשת שקטנה או ששווה לאורך הקטע AB. מה קרה? מדוע, אם כן חשוב התנאי שאורך הקשת יהיה גדול מאורך הקטע AB? לתנאי הזה אנחנו קוראים תנאי הגבלה. לא כל פיתרון ניתן לביצוע בכל תנאי. אם הרדיוס של הקשתות יהיה פחות מ - AB  הקשתות לא תחתכנה. אם הרדיוס יהיה שווה ל-AB הקשתות תשקנה זו לזו בנקודה A ולא נשיג את מטרתנו בבנייה.  ניתן לחסוך שלבים בבנייה על ידי שרטוט הקשתות רק מצידו האחד של הקו.  מטלה: חצו 3 קטעים שונים בגודלם ובכיוונם. בדקו אם חצייתם הצליחה. ציירו קטע כלשהו ונסו לחצותו כשהמחוגים של הקשתות שחגתם מנקודות הקצה של הקטע יהיו קטנים ממחצית הקטע. הצלחתם? נמקו. אי אפשר לבצע את חציית הקטע, כי הקשתות לא נחתכו. מסקנתכם: לא תמיד אפשר לחצות קטע על ידי סרגל ומחוגה. יש תנאים המגבילים אותנו . כדי להצליח עלינו לשים לב להגבלות. לפעולות שעשינו בעזרת סרגל ללא שנתות ומחוגה, קוראים בניות. למדנו את הבנייה של : חציית קטע. נשלב את הבניות ונלמד לבנות אנך אמצעי לקטע נתון. שרטטו קטע כלשהו. שיימו את שתי נקודות הקצה שלו. מאחת מהן חוגו קשת במחוג כלשהו הגדול ממחצית הקטע. מהנקודה השנייה  חוגו קשת באותו מחוג. הקשתות תחתכנה בשתי נקודות. חברו את שתי נקודות החיתוך. הישר שמחבר את נקודות החיתוך מאונך לישר הראשון ששרטטתם וחוצה אותו, הישר הזה הוא אנך אמצעי. אַמְּתוּ את נכונות הבנייה על ידי מדידה. חומר למחשבה למי שירצה לנסות בבית: מטלה: בקטעים שחציתם, חברו כל קצה של קטע לנקודת המפגש של המעגלים. מה קיבלתם? (משולש שווה שוקיים בכל צד: ובסך הכול דלתון -- למעשה מעויין כי כל הצלעות שוות. מדוע? חשבו על מפתח המחוגה...).  ועוד משימה למתעניינים: שרטטן לכם משולש כלשהו לפי טעמכם. בחרו שתיים מתוך שלוש הצלעות של המשולש ששרטטתם. לכל אחת משתי הצלעות הללו מצאו את נקודה שחוצה את הצלע לשני קטעים שווי אורך. (את זה תוכלו לעשות, למשל עם מחוגה כפי שלמדנו היום). חברו בסרגל את אמצעי הצלעות. לקטע שהתקבל קוראים קטע אמצעים במשולש. יש לו תכונות מעניינות ושימושיות: * קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית (זאת שאינו מחובר אליה) * אורכו של קטע אמצעים במשולש הוא מחצית מאורכה של הצלע השלישית בדקו שאכן התכונות מתקיימות. המורה, שלמה יונה * מהלך השיעור עובד מתוך שיעורי הגיאומטריה של תלמה גביש.