יום רביעי, 29 בפברואר 2012

יישומון להמחשת סדרי גודל בעברית

לפני כשבועיים כתבתי על אמצעים להמחשת סדרי גודל שהם עצומים בגודלם או בקטנותם.

מדובר ביישומון בשם "סדרי גודל ביקום 2". הישומון תורגם לעברית ביוזמתו של טל גלילי. מעניין מאוד לקרוא על היוזמה ועל ההשתלשלות וגם לעיין בסטטיסטיקה שקשורה (טוב, טל הוא סטטיסטיקאי אז זה מתבקש).

אני שמח מאוד להיות בין המשתתפים בתרגום (שכלל לא מעט חבר'ה שנענו לקריאה של טל לתרגם לעברית).

אני מקווה שתשתמשו ביישומון ותגלו דברים חדשים שלא ידעתם, אתם ההורים, המורים וגם הילדים.


You need a more recent version of Adobe Flash Player.


המורה,
שלמה יונה



יום שישי, 24 בפברואר 2012

איך מכינים מד זווית מקיפולי נייר?

איך מכינים מד זווית מקיפולי נייר?

שיעור מספר 9: פעילויות בקיפולי נייר, בשרטוט ובמדידת זוויות

בשיעור היום נבנה בידיים מדי-זווית לזוויות בגדלים שונים. גם נשרטט ונמדוד זוויות ותוך כדי ההתנסות נפתור בעיות באריתמטיקה של זוויות (חשבון של זוויות). המטרה, להמחיש לילדים את האריתמטיקה של הזוויות, חשבון בזוויות.

הפעילות בשיעור היא ברוח הסרטון של ויהארט, מתמטיקאית שעובדת באקדמיה של ח'אן ומפיקה סרטונים שבהם היא ממחישה מושגים מתמטיים שונים בעזרת שרבוטים על מחברת, קיפולי נייר ואפילו אמצעים מפתיעים כמו סוכריות גומי. בסרטון הזה היא מציגה כיצד בונים מדי-זווית בעזרת דפים רגילים באמצעות הפעלה של עקרונות של חלוקה לחלקים שווים, חיבור וחיסור, או כמו שנכנה את זה בשיעור שלנו, בעזרת "אריתמטיקה של זוויות":




הבאתי לכתה דפי מדפסת משומשים שבהם נשתמש כדי לייצר לעצמנו מדי זוויות בגדלים שונים:
מורה: כיצד אפשר להשתמש בדף הנייר כדי למדוד זווית שטוחה?

תלמיד: הדף מלבני. קצוות הדף יכולים לשמש אותנו, בדיוק כמו סרגל, כדי לשרטט זווית שטוחה או כדי לבדוק האם זווית שמשורטטת היא שטוחה.
מורה: נשרטט קטע.  הוא כשלעצמו מהווה זווית שטוחה. כיצד?
תלמיד: נבחר נקודה על הקטע ונקבע שזו נקודת החיתוך של שני קטעים: אלה שנוצרו מצד אחד ומהצד השני של הנקודה.

[התלמידים בודקים בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]

מורה: והנה שאלה:

מורה: וכיצד נשתמש בדף כדי למדוד זווית ישרה?
תלמיד: ב-4 פינות הדף יש לנו זוויות ישרות. ה-"פינה" של הדף היא זווית ישרה.

[התלמידים מתבקשים לנסות וגם לבדוק בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]

מורה: יש הצעות כיצד לייצר זווית נישאה בגודל של 270 מעלות?
תלמיד: 270 הם 180 ועוד 90 כך שאפשר להניח זווית של 90 מעלות ליד זווית של 180 מעלות ולקבל זווית של 270 מעלות. [התלמיד מדגים]
מורה: בהחלט אפשרי ונכון. האם ישנן הצעות נוספות?
תלמיד: נוכל להשתמש בפינת הדף ששימשה אותנו למדידת 90 מעלות אך להתייחס לחלק שמחוץ לדף, הוא משלים את 90 המעלות ל-360 מעלות ומשום ש-360 מעלות פחות 90 מעלות זה 270 מעלות, קיבלנו זווית נישאה בגודל 270 מעלות.

מורה: נא להדגים.

תלמיד: [מדגים]


[התלמידים מתבקשים לנסות וגם לבדוק בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]


מורה: איך נוכל לקבל זווית של 45 מעלות?
תלמיד: 45 מעלות הן חצי של 90 מעלות ולכן, אם נקפל את פינת הדף כך ששוק אחת תחפוף לשוק האחרת, נקבל חצי מהזווית.




[התלמידים מתבקשים לנסות וגם לבדוק בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]
תלמידים מגיעים אל הלוח ומדגימים.

מורה: ואיך נכין זווית של 22.5 מעלות?
תלמיד: נשוב ונקפל לשני חלקים שווים. זווית של 45 מעלות נקפל ונחלק לשני חלקים שווים ונקבל 22.5 מעלות.



[התלמידים מתבקשים לנסות וגם לבדוק בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]
תלמידים מגיעים אל הלוח ומדגימים.


מורה: ואיך נכין זווית של 112.5 מעלות?
תלמיד: נבנה זווית של 22.5 מעלות ונצמיד לה פינה של דף (90 מעלות) וביחד נקבל זווית בת 112.5 מעלות.



[התלמידים מתבקשים לנסות וגם לבדוק בעזרת מד זווית -- המורה עובד ורואה שהפעולות נכונות]
תלמידים מגיעים אל הלוח ומדגימים.



מורה: הנה כמה משימות של מציאת הזווית:




אנחנו רואים איך בעזרת פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק, פעולות החשבון אנחנו יכולים למצוא זוויות מזוויות נתונות. לזה אנו קוראים "אריתמטיקה של זוויות".


כמה תרגילים:







לסיכום:
התנסינו בבניית זוויות באמצעות קיפול. ראינו שאפשר לחבר ולחסר זוויות, אפשר גם לחלק ולכפול. חישובים בזוויות, אריתמטיקה של זוויות מאפשרים לנו לענות על שאלות כמו מה גודל הזוויות כשנתונים לנו מצבים עם מידע חלקי. לנו יש את היכולת להשלים את המידע החסר.

בשבוע הבא נבצע פעולות אלה בעזרת בניות בסרגל ובמחוגה. חשוב מאוד להביא לשיעור הבא מחוגה, סרגל, מד זווית, כלי כתיבה ומחברת.


המורה,





יום שישי, 17 בפברואר 2012

שרטוט זוויות ומדידת זוויות בעזרת סרגל ומד-זווית

שיעור מספר 8: שרטוט זוויות ומדידת זוויות בעזרת סרגל ומד-זווית
מד זווית

היום נעסוק במד הזווית.

לאחר שלמדנו הגדרות מקובלות שונות של הזווית ומצאנו בהן בעיות (שיעור מספר 6) הגענו להגדרה טובה של זווית:


הגדרת הזווית:

נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.


מעלה

מאוחר יותר (בשיעור מספר 7) הבנו מה בעצם אנחנו מודדים בזווית ומהן אותן המעלות שמשמשות לנו ליחידות בזווית. מעלה היא חלק אחד מתוך 360 חלקים שווים של מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך של שני הישרים מהגדרת הזוית. אם מדברים על המעגל, המעלה היא קשת על המעגל שאורכה בדיוק 1:360 מהיקפו של המעגל. אם מדברים על העיגול (העיגול הוא השטח שבתוך המעגל) אזי המעלה היא גזרה (חשבו על פרוסת פיצה שנחתכה במסעדה מפיצה מעגלית, מה שמכנים "משולש פיצה" הוא בעצם גזרה) ששטחה בדיוק 1:360 משטחו של העיגול. כאשר נסובב (איננו חייבים לסובב באמת, אנחנו "מסובבים בראש, בדמיון") את אחד הישרים עד שיתלכד עם הישר השני נראה על פני כמה חלקים כאלה נחלוף. שימו לב שכאשר אנחנו מודדים כמה מעלות יש בזווית אנחנו מודדים כמות ולא גודל (המילה "כמה" מרמזת לנו על "כמות").

האם יש קשר בין המעלות בזווית לבין המעלות במדידת טמפרטורה?
חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
מדידת זוויות


בדרך זו מצאנו מרכיב קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. במקרה שלנו: 3, שהן 30 מעלות. אם המעגל קטן - הקשתות קטנות, אם המעגל גדול - הקשתות גדולות, אבל מספרן של הקשתות נשאר קבוע. גודל הזווית נמדד לפי מספר הקשתות שבין שוקי הזווית. כל מעגל שנסרטט ומרכזו יהיה בקדקוד הזווית ייתן בחלוקתו אותה תוצאה: 30 מעלות (° 30).



מד הזווית
למדידת זוויות אנחנו משתמשים במכשיר שנקרא מד-זווית. נזכיר שמד-הזווית הוא מכשיר שמודד את מספר חלקי המעגל (הקשתות) הכלואים בין שוקי הזווית.


אם המעגל שעליו נעשית החלוקה הוא קטן, אז גודל הקשתות יהיה קטן, אם המעגל שעליו נעשית החלוקה יהיה גדול, אז גודל הקשתות יהיה גדול, אבל בשני המקרים כמות הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשארת קבועה והיא יחידת המידה שמודדת את גודל הזווית.









במד-הזווית יש שני טורי מספרים: בכל טור יש 180 מעלות: במעגל הפנימי, הקטן יותר, הקשתות קטנות יותר מאלה  שבמעגל החיצוני, אבל מספרן שווה למספר הקשתות הגדולות יותר, השייכות למעגל החיצוני. הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל החיצוני היא מצד שמאל (מתחילים בספרה 0).


הנה דוגמה לזווית בת 70 מעלות הנמדדת על המעגל החיצוני.

הנקודה ממנה מתחילים את המדידה במעגל הפנימי היא מצד ימין (מתחילים בספרה 0).

הנה דוגמה לזווית בת 60 מעלות הנמדדת על המעגל הפנימי.




ברבע מעגל יש 90 מעלות (° 90).  ° 90 = 4 : ° 360.
בחצי מעגל יש 180 מעלות (° 180).  ° 180 = 2 : ° 360.
בשלושה רבעים של מעגל יש 270 מעלות (° 270) כי שלושה רבעים של ° 360.
זווית ישרה. 90 מעלות. רבע סיבוב על מעגל.


זווית שטוחה. 180 מעלות. חצי סיבוב על מעגל.

זווית נישאה. זאת שבדוגמה היא בת 270 מעלות. 3/4 של סיבוב על מעגל.
זווית מלאה. 360 מעלות (מקובל גם לסמן ב-0 מעלות). סיבוב שלם של מעגל (או בעצם לא הסתובב שומדבר בכלל...)
שימוש במד הזווית

מורה: הניחו את מד הזווית על השולחן. תארו את מד הזווית.
תלמידים: מד-הזווית מורכב מחצי עיגול. יש עליו מספרים. יש עליו גם קווים.
מורה: הניחו עליו את הסרגל המשולש, כפי שאני מראה לכם. היכן נמצא הקודקוד של הזוית הישרה של המשולש?
תלמידים: באמצע הקו התחתון של מד-הזווית.
מורה: זאת נקודת המוצא שלנו. מניחים את הנקודה הזאת על קודקוד הזווית ואת השוק של הזוית מכוונים כך שהיא תתלכד עם הקו התחתון של מד-הזווית. רואים על איזה מספר עוברת השוק השנייה של הזווית?
תלמידים: השוק השנייה עוברת על שני מספרים, לְמה הכוונה?
מורה: יש שתי סדרות של מספרים: הפנימית והחיצונית. באיזו תשתמשו?
תלמידים: ??
מורה: בתוך מד-הזווית יש הכוונה לקריאה. מהי ההכוונה?
תלמידים: השוק האחת של הזווית מונחת על האפס ומשם קוראים את המידה. ממשיכים לספור מאפס. המספרים במעגל החיצוני אינם מתחילים באפס. לפי הזוית שאנו מודדים נוכל גם להסיק באיזו סדרת מספרים להשתמש.
מורה: הסבירו!
תלמידים: אם הזווית שאותה נרצה למדוד היא חדה ולא קהה אז נצטרך להשתמש בסדרה הפנימית. למשל, עבור הזווית החדה מתאימה מידה של 50 מעלות ולא של 130 מעלות.




סימון זוויות

זוויות נסמן בקשת קטנה בין השוקיים, כדי להבחין על מה מדובר וכדי לסמן שמדובר בסיבוב מעגלי. זווית ישרה מקובל לסמן באמצעות קו שבור, כך:
סימון של זווית ישרה


דוגמאות לזוויות קהות:


כיצד מחשבים את גודלה של זווית נישאה?
כדי למדוד זוויות נישאה, מודדים בעזרת מד-זווית את גודל הזווית החדה המשלימה אותה ל-° 360 ומחשבים את ההפרש בינה ל-° 360. לדוגמה, כדי לחשב את זווית ד' בסרטוט, מודדים במד זווית את הזווית החדה שהיא בת ° 20 ומחסרים אותה מ-° 360.



סיכום
זווית ישרה היא בת  ° 90.
זווית חדה היא זווית הקטנה מזווית ישרה.
זווית שטוחה היא זווית בת  ° 180 והיא שווה לסכום של שתי זוויות ישרות.
זווית קהה היא זווית הגדולה מזווית ישרה, וקטנה מזווית שטוחה.
זווית נישאה היא זווית הגדולה מזווית שטוחה, וקטנה מזווית בת  ° 360.


המורה, 
שלמה יונה



יום רביעי, 15 בפברואר 2012

המחשת מרחקים וסדרי גודל

המחשת מרחקים וסדרי גודל

הפעם נחזה בהמחשות של מרחקים ושל סדרי גודל.

דיברתי בכיתה על מושג האורך והמימד ודיברתי על מדידות (פה, פה ו-פה) ואפילו השוויתי עם חומר לדוגמה בנושא ממיזם של משרד החינוך שהופק לא מכבר (הנה, פה) ועכשיו, המחשה ממש מוצלחת וקלה לתפעול של אורכים סדרי גודל.

הנה לפניכם שני סוגי המחשה:

[1] המחשת מרחקים אסטרונומיים: סדרת ספרים בשם Astromonical שהדפדוף בהם יכול להמחיש מרחקים בקנה מידה בין כוכבי. מדובר בדגם בקנה מידה של מערכת השמש שלנו בצורת סדרת ספרים ב-12 כרכים, כל כרך בן כ-500 עמודים. את הספרים מדפיסים לפי דרישה. בעמוד מספר 1: השמש. בעמוד מספר 6,000 פלוטו. רוחבו של כל עמוד מקביל (לפי קנה המידה שהשתמשו בו) למיליון קילומטרים (ג'יגהמטר).


ASTRONOMICAL - The Movie מאת  Mishka Henner  .



















[2]
כלי מרהיב ומסקרן מאת קארי הואנג. מזיזים את הכפתור ימינה או שמאלה כדי להתקרב או כדי להתרחק -- בעזרת פס גלילה. החל מעצמים בסביבתינו ועד לגדלים בין כוכביים, או בין גלקטיים (אם מתרחקים) ועד לגדלים קטנים כרצונכם (אם מתקרבים).
http://spamtheweb.com/spread/uploads/swfs/02022012/scale_of_univescale_of_universe_enhancedrse_enhanced.swf

















המורה,
שלמה יונה



יום ראשון, 12 בפברואר 2012

מדידת מרחקים לפי משרד החינוך תוכנית העתודה המדעית

מתברר שלמשרד החינוך יש תוכנית לעתודה מדעית וטכנולוגית: תוכנית 6 שנתית (מכתה ז' ועד כתה י"ב) עם דגש על מתמטיקה, פיזיקה, כימיה ביולוגיה,


תכנית אסטרטגית לחיזוק החינוך מדעי - טכנולוגי
עתודה מדעית טכנולוגית

בשנת הלימודים תשע"א השיק מינהל מדע וטכנולוגיה במשרד החינוך את התוכנית "עתודה למנהיגות מדעית טכנולוגית" ב-30 בתי ספר על יסודיים שש שנתיים, כאשר בכל בתי ספר נפתחו שתי קבוצות: האחת בכיתה ז' והשנייה בכיתה י' זאת במטרה לייצר מסלול מצוינות שש שנתי המוביל לתעודת בגרות איכותית בתחומי המדע והטכנולוגיה הכוללת:

  • 5 יח"ל מתמטיקה בנוסף,
  • 5 יח"ל מדעי הטבע (פיזיקה כימיה ביולוגיה) ובנוסף,
  • 5 יח"ל טכנולוגיות (מדעי המחשב/ הנדסת תוכנה, הנדסת אלקטרוניקה, הנדסת מכונות, ביוטכנולוגיה או מדעית טכנולוגית), או מקצוע מדעי טבע נוסף.

בשנת הלימודים תשע"ב שואף מינהל מדע וטכנולוגיה להרחיב את התוכנית לבתי ספר נוספים וגם בהם להקים מסלול מצוינות מכיתה ז' ועד כיתה יב'.


הנה קובץ ובו הסברים וגם הצעות לפעילויות בנושא מדידת מרחקים מתוך התוכנית.
בנושא יחידות המידה ומדידת מרחקים עסקנו גם בסדנת המתמטיקה שלנו, סדנת המתמטיקה בבית ספר עמל:

שיעור מספר 3: על מושגי האורך והמימד
שיעור מספר 4: יחידות אורך: על השיטה המטרית והקשר שלה למבנה המספר

תלמידים מתעניינים יוכלו למצוא עניין בקובץ הפעילויות של משרד החינוך -- הורים ומורים יוכלו להשתמש בחומר כדי לבנות פעילויות לתלמידים סקרנים.



המורה,
שלמה יונה



יום שבת, 11 בפברואר 2012

גיאומטריה -- נעים להכיר: תוכניות הטלוויזיה הלימודית באינטרנט


גיאומטריה: נעים להכיר
תוכניות הטלוויזיה הלימודית באינטרנט

אני ממליץ לתלמידים להורים (גם למורות ולמורים לא יזיק) לצפות באינטרנט ב-4 הפרקים של התוכנית "גיאומטריה: נא להכיר" של הטלוויזיה הלימודית משנת 1984. ניתן לצפות בפרקים באמצעות דפדפן אינטרנט במערכת הפעלה חלונות בלבד באמצעות הקישור: http://www.23tv.co.il/2021-he/geometria.aspx

יש לא מעט מושגים שמוסברים ושמומחשים בתוכנית, אחרים אינם מוסברים כלל -- אבל בשביל זה יש לנו את הסדנה שלנו. בסדנת המתמטיקה שלנו בעמל אנחנו לומדים על מושגי היסוד, על השימושים שלהם, על הקשר שלהם לנושאים אחרים במתמטיקה ובחיים ובונים לעצמנו מודל מנטלי נכון שלהם באמצעות בניות בסרגל ובמחוגה.

סדרה ללימוד גיאומטריה שהופקה כסדרת המשך לתכנית המתמטיקה "חשבון פשוט". חומר הלימוד מועבר בעזרת מגוון מצבים משעשעים ומוכרים, המצליחים להפוך את המושגים המורכבים לרלוונטים ומובנים.
אסתי היא אדריכלית חייכנית העוזרת לתושבי השכונה בשאלות מחיי היום יום הקשורות לעולם הגיאומטריה.
האופה משתעמם מצורתן הקבועה של העוגות, הן תמיד עגולות ומרובעות, אסתי והגיאומטריה מצליחות לעזור לאופה המבולבל לעצב צורות נוספות. ד"ר גוטמן רופא השיניים (הזכור גם מפרק של "חשבון פשוט") מתקשה למקם את הממטרה בחצר ביתו ונעזר בידע ההנדסי של אסתי כדי לפתור את בעיית ההשפרצות. עבור כל בעיה בהם נתקלים שכניה ומכריה הרבים של אסתי, היא מוצאת פתרון פשוט ומובן בעזרת צורות הנדסיות וחישובים מעולם הגיאומטריה.
בסדרה משובצת הפינה הפופולארית שהחלה את דרכה בסדרה "חשבון פשוט" - ביש וגדא, העוסקת בצמד ליצנים מסורבלים המעבירים את עקרונות הגיאומטריה בעזרת שורה של מערכוני סלפסטיק מצחיקים.
מבית היוצר של הטלוויזיה החינוכית
משתתפים:
אסתי כץ, טליה שפירא, ורד רן, אבנר חזקיהו, ראובן שפר, אברהם מור ועוד.
מספר פרקים: 4
משך: 27 דקות
שנת הפקה: 1984


המורה,
שלמה יונה


יום שישי, 10 בפברואר 2012

כיצד מודדים זוויות ומדוע דווקא כך?




שיעור מספר 7: מדידת זוויות


בין השאלות שצצו ועלו בשיעור הקודם היו: אז מה כן מודדים בזווית? ואיך בכלל מודדים זוויות? מדוע מד-הזווית נראה כפי שהוא נראה? מדוע כך ולא אחרת?

בשיעורינו הפעם נמשיך לדון במושג הזווית והפעם באופן המדידה של הזווית: מה מודדים וכיצד ואילו יחידות מידה מקובלות בעולם יש לזווית ומהי יחידת המידה לזוויות שמקובלת בשימוש בציבור.

נזכר בהגדרה שלנו לזווית:


נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.







מה איננו מודדים בזווית?


בשיעור הקודם גם הבנו שכאשר אנחנו מודדים את גודלה של זווית איננו מודדים שטח (מה שנרמז מההגדרה הבעייתית של חלק המישור...). חלק המישור שתחום בין שתי שוקי הזווית (ואין זה משנה כרגע מאיזה צד) הוא אינסופי ולכן אין משמעות למדידה שלו מתוך כוונה לקבל מספר בתור תשובה. אם נתייחס רק לשטח שכלוא בין שתי השוקיים ונתייחס לכל שוק כקטע ולא כקרן -- אזי השטח הכלוא יהיה סופי -- אבל אז תהיה לנו בעיה -- לזווית עם שוקיים ארוכות יותר השטח הכלוא יהיה גדול יותר ולזווית עם שוקיים קצרות יותר יהיה שטח כלוא קטן יותר. אין פה שימור של המידה שאותה אנו רוצים למדוד. לכן השטח אינו מה שנמדוד כאשר נרצה למדוד זוויות.

גם איננו מודדים אורך. טעות נפוצה היא לחשוב שהזווית היא הקשת שמותחים כדי לסמן את הזווית בשרטוט ולכן גודל הזוית הוא אורך הקשת -- הרי אורך הקשת יקטן ככל שנסמן אותה קרוב יותר לקודקוד  הזווית  והאורך יגדל ככל שנסמן את הקשת רחוק יותר מהקודקוד של הזווית.


מספרים לנו כבר מכיתות נמוכות בבית הספר היסודי שזוויות מודדים ביחידות שנקראות מעלות. זה אולי צריך לרמוז לנו שאין מדובר כאן ביחידות של אורך וגם שאין מדובר ביחידות של שטח.
אנחנו זקוקים למדידה של משהו שנשמר ושיש לו משמעות.

כדי למדוד אנחנו צריכים משהו קבוע ואחיד.

אז איך מודדים זווית ומה מודדים שם?
גזרה היא הצורה שכלואה
בין שני מחוגים במעגל לבין קשת על המעגל

לפני כ-3,500 שנה חילקו מעגל ל-360 חלקים שווים. החלוקה נעשתה כמו שמחלקים עוגת יום הולדת עגולה או כמו שמחלקים פיצה עגולה: מהמרכז כלפי חוץ. לכל חלק כזה של המעגל נקרא קשת ולכל חלק כזה מהעיגול נקרא גִזְרה. כל פרוסת עוגה או מנת פיצה היא בעצם גִזְרה כי היא חלק מהעיגול. נבחין כי אורכי הקשתות שמתקבלים מהחלוקה הזאת שווים זה לזה ושנשמר מספר הקשתות וגם מספר הגזרות. מספר הקשתות ומספר הגְזרות נשמר גם אם נשרטט מעגל גדול יותר או קטן יותר כרצוננו, ובלבד שלמעגלים הללו יהיה מרכז משותף.


קשת היא חלק מהמעגל. המעגל הוא הקו שסביב לעיגול.
גִזרה היא חלק מהעיגול. העיגול הוא השטח שהמעגל כולא בתוכו.


הרעיון של הקדמונים היה שיש להתחיל את המדידה של הזווית מקודקוד הזווית, שעליו יונח מרכז המעגל המחולק לקשתות.
אנחנו רואים שבין שוקי זווית שנשרטט יש אותו מספר של קשתות או של גזרות ואין זה משנה מהו גודל המעגלים (שמרכזם בקודקוד הזווית) שנשרטט.


יש שימור כמות (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

אין שימור של גודל (של הקשתות ושל הגזרות) כאשר משתמשים במעגלים גדולים יותר או קטנים יותר שלהם יש מרכז משותף.

מצאנו משהו קבוע שיכול לשמש יחידת מידה! מצאנו שמספר הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית נשאר קבוע. אם המעגל קטן -- הקשתות קטנות, אם המעגל גדול -- הקשתות גדולות, אבל מספרן נשאר קבוע. כל מעגל שנשרטט ומרכזו יהיה בקודקוד הזווית ייתן בחלוקתו את אותה התוצאה.



  • לכל חלק בחלוקה הזאת ל-360 חלקים נקרא מעלה ונסמן 1°=1:360=1/360.
  • חשוב מאוד להבין שמעלה היא גם יחידת מידה של טמפרטורה ושאין מדובר באותה היחידה שבה אנו משתמשים למדידת זוויות -- רק השם משותף ואין כל קשר אחר בין השתיים! אז איך נדע להבחין בית השתיים? לפי ההקשר. כלומר, בקשר למה נעשית המדידה. אם החזאי אומר שמחר הטמפרטורה תהיה 23 מעלות צלזיוס אזי ברור לנו שאין הוא מתכוון למדידה של זווית ולכן אין הוא מתכוון למעלות של זווית.
  • הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהן.
  • אנחנו מודדים כמות ולא גודל

נראה את המשמעות של העובדות הללו לגבי מכשיר המדידה שבו אנו מודדים זוויות, מד הזווית שאותו נכיר ושעליו נלמד ושבו נשתמש בשיעור הבא.

לסקרניםכמה שיטות מקובלות ליחידות מידה של זווית:

מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית. במעגל יש 360 מעלות (מספר זה נקבע על פי שיטת הספירה הבבלית), כלומר מעלה היא זווית שגודלה הוא 1/360 של המעגל. סימנה של מעלה הוא °, ולכן ניתן לכתוב "זווית של 90°", במקום "זווית של 90 מעלות".

המעלה נחלקת ל-60 דקות, כלומר דקה שווה לחלק ה-1/60 של מעלה. יחידה זו ידועה גם כ"דקת מעלה" או דקת קשת, וניתן לחלק אותה, אנלוגית לזמן, ל-60 שניות קשת, כלומר שנייה שווה לחלק ה-1/60 של דקה, או לחלק ה-1/3600 של המעלה.

הסימון הפורמלי לדקה הוא גרש ישר - (′). לדוגמה, 15 דקות ייכתבו כך - 15′. אולם, הסימון הנפוץ ביותר הוא הגרש הנטוי המקובל. באופן דומה מסומנת שנייה על ידי זוג גרשיים, לדוגמה 25 שניות ייכתבו כך - 25′′. 
רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל - \  \ R (ראו באיור משמאל). כיון שהיקף מעגל הוא \ 2 \pi R, במעגל כולו יש בסך הכל \ 2 \pi רדיאנים.לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.  מעלה שווה 180/π רדיאנים.
  • גראדים (מתוך ויקיפדיה):
הגראד (Grad) היא זווית המתקבלת מחלוקת המעגל ל-400, כך שבכל זווית ישרה ישנן 100 זוויות בנות גראד.

יתרונה של יחידה זו היא הקלות לחשב בה חישובים פשוטים. כך, למשל, אם פניתי בזווית של 117 גראד, בכיוון השעון מצפון, ניתן להבין בקלות כי פני מופנות בזווית של 17 גראדים מן המזרח. מקורה של חלוקה זו של המעגל בצרפת, והיא חלק מן השיטה המטרית. עם זאת חלוקה זו לא התקבלה באופן אוניברסלי, והיא נהוגה רק בענפי התמחות מסוימים כמדידות, או תותחנות ובמקומות מסוימים, במיוחד במקומות שהיו בשליטה צרפתית. בשנות ה-80 וב-שנות ה-90 רוב מחשבי הכיס המדעיים כללו אופציה לחישובים בגראדים. דגמים מאוחרים יותר לא כללו אופציה זו ומאפשרים חישובים במעלות ורדיאנים בלבד.



המורה,

יום חמישי, 9 בפברואר 2012

ללמוד ללמד מתמטיקה יסודית לילדים

מתמטיקה יסודית להורים


סדנת מתמטיקה להורים לתלמידים בבית ספר יסודי


ללמוד ללמד מתמטיקה יסודית לילדים

הורים שמעוניינים ללמוד מתמטיקה של בית ספר יסודי באופן שיסייע להבין כיצד חושבים ילדים וכיצד לעזור לילדים עם החשבון ועם הגיאומטריה של בית הספר היסודי ולפתח לילדיהם את החשיבה יכולים לעשות זאת בחינם בהכשרה שיקבלו.

ההכשרה הזאת היא חלק ממיזם של הורים בכפר יונה שנעשה ללא כוונת רווח ובהתנדבות מלאה!

השיעור ביום חלוקת התעודות מתקיים כרגיל

הודעה חשובה להורים ולתלמידים: 

הסדנה ביום חלוקת התעודות מתקיימת כרגיל.

נפגשים בכתה הקבועה עם השמע הצלצול שמבשר על סיום יום הלימודים.



המורה,





יום שישי, 3 בפברואר 2012

האם ההגדרה המקובלת לזווית שגויה? ומה זאת בכלל זווית?

שיעור מספר 6: הזווית


בשיעורנו היום נלמד על הזווית. מהי זווית? כיצד מגדירים זווית? מה הבעיות בהגדרות? מדוע קשה להגדיר זווית? מהי הגדרה טובה יותר לזווית? כיצד מודדים זווית? ומדוע כך ולא אחרת? מה השיטות המקובלות ליחידות של זווית?

זווית נישאה
בשיעור הראשון ובשיעור השני דיברנו על מושגי יסוד שאי אפשר להגדירם: נקודה, ישר, מישור ומרחב. הבנו שגם המושגים של אורך ושל מימד שבהם עסקנו בשיעור השלישי הם יסודיים (מושגי יסוד) ולכן איננו מגדירים אותם ויחד עם זאת מרבים להשתמש בהם.

הגדרה נועדה לצורך תקשורת. ההגדרה משמשת כקשר של הבנה. הגדרות וסימונים שימושיים בתקשורת כאשר יש הסכמה לפעול לפיהן. הגדרות שימושיות כאשר הן מסבירות מהות. כדי לדעת בדיוק מהו הדבר שעוסקים בו צריך להגדיר אותו.

אני מזכיר, שהמילה הגדרה נגזרת מהמילה גדר. מה הקשר בין ההגדרה לבין הגדר? ההגדרה מבדילה בין המושג שאותו היא מבארת לבין שאר הדברים. באופן דומה, הגדר מפרידה בין מה שנמצא בתחום שאותו היא תוחמת לבין שאר העולם. הגדרה תספק לנו מידע על המהות (מה-הוא) של המושג, או איך לזהות אותו או מה מאפיין אותו ואיך ליצור אותו.

סימונים:

לצורכי תקשורת נסכים (נאמץ הסכמות מקובלות בעולם) על סימונים:

נקודות נסמן באותיות לטיניות גדולות:
ישרים נסמן באות לטינית קטנה:


קטעים נסמן באמצעות זוגות של אותיות לטיניות גדולות: כל אות מתאימה לסימון של קודקוד
הקטע מוגדר באמצעות סימוני זוג הקודקודים שמשמשים כקצות הקטע:


הגדרה מקובלת של זווית בספרי לימוד במתמטיקה ובמילונים:
שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת יוצרות זווית
לכל קרן נקרא שוק
לנקודה המשותפת נקרא קודקוד

לזווית יש מרכיבים: לנקודה נקרא קודקוד ולקרניים נקרא שוקיים.
ההקשר שבו נעסוק יקבע את המילה שבה נשתמש. המילה מקבלת משמעות מההקשר. לכן, לפעמים נאמר נקודה ולפעמים קודקוד; לפעמים נאמר קרניים שיוצאות מאותו הקודקוד ולפעמים נאמר שוקיים.


[כאן בא דיון: הכתה התבקשה לציין בעיות בהגדרה -- ממש לחפש מה אינו ברור]

 ישנן 4 בעיות בהגדרה מקובלת זאת:
  1. אמירה ריקה -- מילה זהה -- איזו משמעות יש להגדרת מהותו של מושג באמצעות אותו המושג? זה כמו להגדיר שולחן באופן הבא: "שולחן הוא שולחן ש..." -- זהו פגם יסודי להשתמש במילה זווית בהגדרת הזווית. [יש מי שמכנים ליקוי מסוג שזה במילה טאוטולוגיה (מיוונית: מילה זהה), אך מושג זה קיבל משמעות מקובלת שונה בלוגיקה כפסוק שהוא תמיד אמת].
  2. ההגדרה אינה מסבירה מהותה של הזווית אלא מסבירה כיצד לבנות זווית. זאת הגדרה אופרטיבית וגם ככזאת אינה מצטיינת בבהירות כפי שנלמד מהליקויים הבאים.
  3. שתי קרניים שיוצאות מאותה הנקודה יוצרות שתי זוויות ולא זווית אחת. (השתיים משלימות ל-360 מעלות, לפעמיים פאי או ל-400 גראד, תלוי בשיטת המדידה)
  4. הזווית נוצרת גם על ידי חלק מהקרניים ואין צורך בקרניים במלואן.
[הסברתי לתלמידים שהם צריכים לקרוא הגדרות בעיון ולהבין ואם יש בעיה בהבנה -- צריך לחקור ולהעמיק ולרדת לשורש העניין -- אין לקבל אמירות או טענות כאמת ללא בדיקה וללא ביקורת.]

זווית חדה
הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:
זווית היא חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת
[ושוב, כאן בא דיון כתתי -- מה הבעיות שיש לנו עם ההגדרה הזאת?]

השגיאות כאן:
  1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
  2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
  3. גם כאן, יש פה שתי זוויות ולא אחת...
  4. גם כאן אין צורך בכל קרן כולה, גם קטעים יספיקו...
לא לחינם קשה להגדיר את הזוית, היא מהמושגים הראשונים שאותם מנסים להגדיר באמצעות מושגי היסוד והעניינים עדיין לא ברורים. לכן ננסה להבין את הזווית באמצעות שיטת המדידה שלה. לבסוף נגדיר זווית באופן פחות בעייתי ומדויק בהרבה -- באופן שיהיה ברור מתוך אופן המדידה.

הגדרה טובה יותר לזווית:
נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.
זווית קהה
ההגדרה הזאת מאפשרת לנו לדמיין את הזווית ולהשתמש בדימויים כמו מחוגים של שעון. ההגדרה אינה אומרת לנו מהי "כמות הסיבוב" וכיצד מודדים את כמות הסיבוב. בזאת נעסוק בשיעור הבא.

אז מה בעצם מודדים בזווית? מדוע? מה נשמר? מה אינו נשמר?

עד לכאן הגענו בשיעור שלנו הפעם -- על אופן המדידה, על השמוּרות (מה שנשמר) ועל מה שאינו נשמר נדון ונלמד בפעם הבאה שניפגש. 



המורה,