יום שישי, 8 באפריל 2011

שיעור מספר 4: הזווית

בשיעורנו היום נלמד על הזווית. מהי זווית? כיצד מגדירים זווית? מה הבעיות בהגדרות? מדוע קשה להגדיר זווית? מהי הגדרה טובה יותר לזווית? כיצד מודדים זווית? ומדוע כך ולא אחרת? מה השיטות המקובלות ליחידות של זווית?

בשיעור הראשון ובשיעור השני דיברנו על מושגי יסוד שאי אפשר להגדירם: נקודה, ישר, מישור ומרחב. הבנו שגם המושג ממד שבו השתמשנו ועליו הרחבנו בשיעור השלישי הוא מושג יסודי שאיננו מגדירים, אך מרבים להשתמש בו.

הגדרה נועדה לצורך תקשורת. ההגדרה משמשת כקשר של הבנה. הגדרות וסימונים שימושיים בתקשורת כאשר יש הסכמה לפעול לפיהן. הגדרות שימושיות כאשר הן מסבירות מהות. כדי לדעת בדיוק מהו הדבר שעוסקים בו צריך להגדיר אותו.

לצורכי תקשורת נסכים (נאמץ הסכמות מקובלות בעולם) על סימונים:

נקודות נסמן באותיות לטיניות גדולות.
ישרים נסמן באות לטינית קטנה.
קטעים נסמן באמצעות זוגות של אותיות לטיניות גדולות: כל אות מתאימה לסימון קודקוד: הקטע מוגדר בסימון באמצעות סימוני זוג הקודקודים שמשמשים כקצות הקטע.

הגדרה מקובלת של זווית בספרי לימוד במתמטיקה ובמילונים:
שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת יוצרות זווית
ישנן 4 בעיות בהגדרה מקובלת זאת:

  1. אמירה ריקה -- מילה זהה -- איזו משמעות יש להגדרת מהותו של מושג באמצעות אותו המושג? זה כמו להגדיר שולחן באופן הבא: "שולחן הוא שולחן ש..." -- זהו פגם יסודי להשתמש במילה זווית בהגדרת הזווית. [יש מי שמכנים ליקוי מסוג שזה במילה טאוטולוגיה (מיוונית: מילה זהה), אך מושג זה קיבל משמעות מקובלת שונה בלוגיקה כפסוק שהוא תמיד אמת].
  2. ההגדרה אינה מסבירה מהותה של הזווית אלא מסבירה כיצד לבנות זווית. זאת הגדרה אופרטיבית וגם ככזאת אינה מצטיינת בבהירות כפי שנלמד מהליקויים הבאים.
  3. שתי קרניים שיוצאות מאותה הנקודה יוצרות שתי זוויות ולא זווית אחת. (השתיים משלימות ל-360 מעלות, לפעמיים פאי או ל-400 גראד, תלוי בשיטת המדידה)
  4. הזווית נוצרת גם על ידי חלק מהקרניים ואין צורך בקרניים במלואן.
התלמידים הבריקו -- מצאו דיי מהר את הבעיות המהותיות! הייתה הפתעה שהגדרה מקובלת שנראית תמימה ונכונה היא כל כך בעייתית בכל כך הרבה מובנים.

הסברתי לתלמידים שהם צריכים לקרוא הגדרות בעיון ולהבין ואם יש בעיה בהבנה -- צריך לחקור ולהעמיק ולרדת לשורש העניין -- אין לקבל כל דבר כאמת ללא בדיקה וללא ביקורת.

לזווית יש מרכיבים: לנקודה נקרא קודקוד ולקרניים נקרא שוקיים.
ההקשר שבו נעסוק יקבע את המילה שבה נשתמש. המילה מקבלת משמעות מההקשר. לכן, לפעמים נאמר נקודה ולפעמים קודקוד; לפעמים נאמר קרניים שיוצאות מאותו הקודקוד ולפעמים נאמר שוקיים.

הגדרה מקובלת נוספת ובעייתית גם היא לזווית:
חלק המישור הכלוא בין שתי קרניים שיוצאות מנקודה אחת
השגיאות כאן:

  1. חלק המישור שכלוא בין השוקיים הוא אינסופי. איזו משמעות, אם כך, יש למדידתו?! לכן אין זאת הגדרה טובה לזווית, כי כידוע אנחנו מודדים זוויות.
  2. אם מדובר בחלק המישור אזי יש משמעות של שטח, אז איננו מודדים שטח: היחידות למדידת זווית אינן יחידות שטח ואינן ברות המרה ליחידות שטח
  3. גם כאן, יש פה שתי זוויות ולא אחת...
  4. גם כאן אין צורך בכל קרן כולה, גם קטעים יספיקו...
לא לחינם קשה להגדיר את הזוית, היא מהמושגים הראשונים שאותם מנסים להגדיר באמצעות מושגי היסוד והעניינים עדיין לא ברורים. לכן ננסה להבין את הזווית באמצעות שיטת המדידה שלה. לבסוף נגדיר זווית באופן פחות בעייתי ומדויק בהרבה -- באופן שיהיה ברור מתוך אופן המדידה.


הגדרה טובה יותר לזווית:
נתונים שני ישרים (או חלקי ישרים) שנחתכים זה על ידי זה. נגדיר זווית להיות כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני.
ההגדרה הזאת מאפשרת לנו לדמיין את הזווית ולהשתמש בדימויים כמו מחוגים של שעון. ההגדרה אינה אומרת לנו מהי "כמות הסיבוב" וכיצד מודדים את כמות הסיבוב. בזאת נעסוק בשיעור הבא.

אז מה בעצם מודדים בזווית? מדוע? מה נשמר? מה אינו נשמר?

עד לכאן הגענו בשיעור שלנו הפעם -- על אופן המדידה, על השמוּרות (מה שנשמר) ועל מה שאינו נשמר נדון ונלמד בפעם הבאה שניפגש. זה יקרה אחרי חופשת הפסח.


המורה,
שלמה יונה

יום שישי, 1 באפריל 2011

שיעור מספר 3: ממדים

בשיעור הקודם היה בלבול וניסיונות שונים להסביר כמה ממדים יש למרחב. היה קושי בכתה להגדיר מהו ממד כדי להבין כיצד להשתמש במושג כדי להכריע כמה ממדים יש במרחב.

לא בכדי העניין קשה להגדרה. ממד הוא מושג יסודי והבעיה עם מושגי יסוד שאין בעזרת מה להגדירם. מושגי יסוד הם מסוג הדברים שאנשים פשוט מבינים או נדרשים להבין או שתופסים אותם מתוך ניסיון ומתוך התקלות בדוגמאות.

גם אני אנסה להסביר (אך לא להגדיר -- כי ממד הוא מושג יסוד ולא ניתן להגדירו) ולתת תחושה של שליטה ושל הבנה של השימושים ושל ההסכמות בשימושים של המושג היסודי ממד.

אנחנו יודעים שאנחנו מסוגלים למדוד אורכים. אורכים אנחנו מודדים בעזרת יחידות מידה. יחידות מידה מוסכמות הן דבר שימושי והכרחי לצורך תקשורת כדי שניסיונות מדידה חוזרים שלהם תוצאות זהות יהיו אפשריים וכדי לתקשר עם אחרים את תוצאות המדידה (למשל, כדי לבחור רהיט בגודל שמתאים לחלל שמיועד לו בבית).

הסכמנו שלנקודה בגיאומטריה אין ממדים. הנקודה היא חסרת ממד. נקודה אינה תופסת מקום. לכן קל היה להסכים שלנקודה יש אפס ממדים.

אורך אנחנו יודעים למדוד. בשיטה העשרונית, השיטה המטרית, שהיא גם השיטה הבינלאומית שמוסכמת במדע, משתמשים בארץ ובארצות רבות בעולם. כינויי השיטה הבינלאומית ליחידות מידה היא SI, שהן האותיות הראשונות בצמד המילים System International -- מערכת בינלאומית, כאמור. ארצות הברית היא יוצאת דופן בולטת ושם יחידות המידה שונות -- על יחידות המידה בשיטות מידה אחרות ועל ההמרות משיטה לשיטה נלמד בעתיד ולא נתעכב עליהן כאן -- הסקרנים יכולים לנסות לקרוא על האינץ', הרגל, האונקייה וכו' במקורות אחרים -- ויקיפדיה בערך יחידות מידה לאורך או יחידות מידה שאינן תקניות או מערכת היחידות הבריטיות -- כל אלה מקומות לא רעים להתחלה.

אורך, כאמור, מודדים ביחידות אורך. היחידה הבסיסית לאורך היא המטר. משום השימושים הרבים והשונים והצרכים השונים למדידות בקני מידה שהם גדולים יותר ממטר וקטנים יותר ממטר הוגדרו יחידות מידה שמבוססות על המטר -- למעשה, הן מכפלות בחזקות של עשר על יחידת המטר:
1 מטר; נסמן 1 מ'. זה שווה ל-10 דצימטר; נסמן 10 דצ"מ. זה שווה ל-100 סנטימטר ונסמן 100 ס"מ. זה שווה ל-1000 מילימטר ונסמן 1000 מ"מ.

דֶקָה -- בלועזית, עשר (10).
דֶצִי -- בלועזית, עשירית (0.1).

סֶנט -- בלועזית, מאה (המילה century משמעה עשור)
סֶנטִי -- בלועזית, מאית

מִילֶנִיוּם -- אלף
מִילִי -- אלפית


שטח נחשב ביחידות ריבועיות בשל נוחות החישוב וגם נוחות הייצוג (הציור). נוח מאוד לרצף שטח ביחידות שהן ריבועים שווים ולמדוד כך. החזרה נוחה ואין שאריות ורווחים. למדידת שטח של צורות מורכבות יש שיטות רבות ומעניינות ועליהן נלמד בעתיד ולא נתעכב עליהן היום.

יחידות למדידת השטח הן מטר רבוע ונאמר גם מטר בריבוע ונסמן מ"ר. המשמעות היא שאנחנו מחשבים ממש שטח של ריבוע שצלעו מטר אחד ולכן השטח הוא 1מ' כפול 1מ' ונקבל 1מ"ר. הסימון המקובל הוא מ' בחזקת 2. משום שבמטר 1 יש 10 דצ"מ אזי כדי למדוד את שטחות של אותו הריבוע ביחידות שמבוססות על דצימטר נקבל שהשטח הוא 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ שהם 100 דצ"מ בריבוע. באותו האופן אותו השטח ביחידות שמבוססות על סנטימטרים יהיה 100 ס"מ כפול 100 ס"מ שהם 10000 סנטימטרים רבועים ונסמן 10000 סמ"ר ואפשר גם לסמן 10000 ס"מ בחזקת 2. באופן דומה אותו השטח ביחידות שמבוססות על מילימטרים הוא 1000 מ"מ כפול 1000 מ"מ שהם 1 מיליון ממ"ר או מיליון מילימטרים בריבוע.

כמובן שאפשר לדבר גם על יחידות מידה שגדולות מהמטר -- למשל, אלף מטר הם 1 קילו-מטר. קילו משמעו בלועזית אלף. ולכן, למשל, כאשר מדברים על יחידות משקל יש לומר קילוגרם (אלף גרם) ולא סתם קילו -- כי אז לא ברור על מה מדובר. חשוב לנו לדייק במתמטיקה ובמדע בפרט ובשפה שלנו בכלל. יחידת שטח שימושית שמבוססת על הקילומטר (או בקיצור ק"מ) היא יחידה של 1 קמ"ר = 1 קילומטר רבוע = 1000 מ' כפול 1000 מ' = 1000 בריבוע מטר בריבוע = מיליון מטר בריבוע = מיליון מ"ר. ביחידות כאלה של קמ"ר משתמשים למדידות של ארצות ולמפות, למשל. למגרשים לבנייה ולשטחים חקלאיים מקובל להשתמש ביחידה אחרת, הדונם. 1 דונם הוא 1000 מ"ר (ולכן זאת אלפית אחת של 1 קמ"ר).

שימו לב שעד כה ליחידות האורך השתמשנו במטר בחזקת אחד -- המטר כמות שהוא, ליחידות השטח השתמשנו במטר בריבוע -- עלינו לחזקה שנייה. מספר המימדים הוא כמעלת החזקה של יחידות המידה שלנו. נמשיך ונראה את זה גם בנפח.

באותו האופן, כדי למדוד נפח, אנחנו צריכים לערום או לצרף יחדיו יחידות שטח ונדרש לנו ממד נוסף של אורך שמביא לנו ממד נוסף של מידה:

1 מטר מעוקב, 1 מטר קוב (קוב בלועזית היא קובייה) ולשיטתנו עד כה:
1 מ"ק = 1מ' כפול 1מ' כפול 1מ' = 1 בשלישית מטר בשלישית = 1 מטר בשלישית (או 1 מטר קוב)
אם נרצה להמיר ליחידות שמבוססות דצ"מ -- אין בעיות -- כל מטר נחליף בעזרה דצ"מ ונקבל:
1 מ"ק = 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ כפול 10 דצ"מ = 10 בשלישית דצ"מ בשלישית = 1000 דצ"מ בשלישית.
יחידת נפח שימושית בחיי היומיום היא הליטר (ראו למשל בבקבוקי השתייה שלכם). 1 ליטר היא 1 דצימטר בשלישית. לחלקכם על הבקבוק יחידת הנפח אינה בליטר אלה ב-cc -- זאת יחידת נפח שמבוססת על הסנטימטר. אין לנו בעיה -- נשתמש ביחס שבין דצימטר אחד לסנטימטרים: יש עשרה סנטימטרים בדצימטר אחד ולכן:
1 ליטר = 1 דצ"מ בשלישית = 10 בשלישית ס"מ בשלישית (מסמנים ס"מ בשלישית בלועזית ב-cc כי זה centimeter cube) וקיבלנו שליטר אחד שווה ל-1000cc. לכן בקבוקים בנפח זהה של חצי ליטר ושל 500cc מכילים אותה כמות מים.

ראינו שהממדים מתאימים לחזקות של העשר ביחידות שלנו.

כמה תרגילים לחידוד העניין:
כמה cc  יש ב-3 דצמ"ק?
כמה סמ"ק במטר מעוקב?
כמה סמ"ק יש ב-8 מטר מעוקב?
כמה דונם יש ב-8 קמ"ר?

לסקרנים ולחובבי הקריאה אני ממליץ לקרוא הכול לפי מידה, המסע בן שבע השנים ששינה את העולם  מאת קן אלדר (ראו ביקורת בעיתון הארץ) וספר שהוא בין הבדיה לבין האמת בשם מודדים את העולם מאת דניאל קלמן (ראו קישורים לביקורות באתר ההוצאה לאור וגם בסקירה ביומן הרשת שלי).

בשבוע הבא בדעתי להסביר על מושג שנמצא באזור הדמדומים שבין המושגים המוגדרים היטב בגיאומטריה לבין מושגי היסוד -- הזוית. מה זה זווית? מה היא מייצגת? איך מקובל להגדיר אותה? מה הבעיות בהגדרות המקובלות? איך כן להגדיר זווית? איך מודדים זווית? מדוע מודדים זוויות כך ולא אחרת? על כל אלה ועוד במפגש הבא.


המורה,
שלמה יונה