שיעור מספר 2: תכונות ומאפיינים של מושגי היסוד

שיעור מספר 2: תכונות ומאפיינים של מושגי היסוד   השיעור התקיים ביום שישי, 25 במרץ 2011, י"ט באדר ב' ה'תשע"א

נפגשנו לאחר הפסקה של שבוע בגלל חגיגות פורים בבית הספר. נזכרנו בשמות, הכרנו תלמיד חדש שהצטרף. הזכרנו שבפעם הקודמת ערכנו רשימה של מושגי היסוד בגיאומטריה.

הפעם שוחחנו על התכונות של המושגים הללו.

אחרי דיון הגענו לתובנות הבאות:

• לנקודה אין מימדים
• לישר יש מימד אחד 
• למישור יש שני מימדים
• למרחב יש שלושה מימדים

הדיון לא היה פשוט. נתקלנו בדיונים שלנו בדעות רבות בנוגע למספר המימדים של המרחב. ביקשתי מהתלמידים לכתוב כל אחד בלוח המחיק האישי שלו את מספר המימדים המשוער ואת השמות למימדים לפי דעתו. לאחר שכל התלמידים סיימו הם הרימו את הלוחות וראיתי את מקבץ התשובות הבא:

• אפס 
• אינסוף
• לא ידוע
• 3
• 4

מעניינים היו הנימוקים לתשובות. כל נימוק הראה על הבנה וידע מרשימים של התלמידים וגם הראה לי המורה על אי הבנות שיש לטפל בהן.

שלוש תשובות: 0 מימדים -- אמרו שאין משמעות לעניין -- התקשו מאוד להסביר ולהדגים ולא ידעו מה לעשות כששאלתי "אם כך, מה ההבדל בין מרחב לבין נקודה -- ואיך זה שאם למרחב אין מימדים אנחנו בכל זאת נמצאים במרחב ויש לנו מימדים". אחד התלמידים גם סימן אפס בסימן "-" (מינוס) -- שאלתי על הסימון והתשובה היתה שזה גם אומר כלום. הסברתי שהסימן המוסכם לכמות של אפס ממשהו  (של משהו שאין) הוא 0 וכותבים אותו כמקובל ושחשוב לנו בשיעורים שלנו, ובכלל במתמטיקה ובחיים להשתמש בסימנים מוסכמים לטובת הבנה ותקשורת.

* שתי תשובות: אינסוף מימדים -- השיקולים של כל אחד מהם היו שונים: האחד טען שאין סוף לכל כיון במרחב והשני אמר שיש "אורך , רוחב, גובה, עומק, ראייה, שמיעה, ריח, ...." -- את הראשון שאלתי: "אם כך אז איך אתה אומר שלמישור יש שני מימדים -- הרי גם שם הם נמשכים לאינסוף ובישר יש גם אורך אינסופי?"  -- היה פה קושי. לשני אמרתי שהוא מציין דברים שונים שלהם יש מדדים מוסכמים למדידה אולם אין הם מימדים במובן גיאומטרי (דווקא, בהנדסה בתעשייה, מקובל להתייחס לכל משתנה מדיד, רציף או בדיד, כאל מימד ולייצג במתמטיקה מרובת מימדים, לרוב מספר רב מאוד של מימדים, יותר משלושה, -- כך שההצגה שלו מתיישרת עם הפרקטיקה בעולם -- יחד עם זה -- לא נכנסתי לעניין הזה -- ואמרתי שאנחנו מתייחסים למימדים שמתייחסים למדידה של מקום שנכנס בחלק סופי של מרחב או למקום שחלק סופי של מרחב תופס)

* אחד התלמידים כתב שאינו יודע. שיבחתי אותו על הכנות והסברתי לכול שזאת גם תשובה מקובלת.

* שניים כתבו שלושה מימדים -- הסבירו שיקראו להם "אורך, רוחב, גובה" ושאפשר להחליף עם עומק וכו' ונתנו דוגמאות מסודרות לחישוב נפח או גודל של תיבה ושל קובייה והדגימו עם חנות רהיטים שמפרסמת בקטלוג שלה גם תמונות ומחיר וגם מימדים (אורך עומק וגובה) כדי שאנשים יוכלו למדוד בבית ולהחליט האם יש להם מקום

* תשובה אחת היתה 4 מימדים -- הנימוק היה -- "יש ימין ושמאל -- זה שני מימדים -- ויש למעלה ולמטה -- זה עוד שניים". -- תשובה זו כמובן שגויה בנימוק. יחד עם זאת, אציין שיש מדענים שטוענים שנכון להתייחס לארבעה ממדים במרחב כאשר הממד הרביעי הוא הזמן.

הדיון הסתיים בנימוק לתשובה הנכונה -- שלושה מימדים והשמות: אורך רוחב וגובה (או עומק וכו'). הזכרנו אורך, שטח ונפח. נטפל באלה ובמדידות בפעמים הבאות.

[במושג מימד כוונתנו למשמעות של "מקום שתופס העצם הגיאומטרי": נקודה אינה תופסת מקום, ישר תופס מקום שאפשר למדוד אורך לחלקיו, מישור תופס מקום שאפשר למדוד לחלקיו שטח ומרחב הוא בעצם כל המקום של הדברים שאנחנו רואים ומכירים במציאות -- זהו מקום במובן המוחשי-פיזיקלי.]

בהמשך הכרזתי "אני אשרטט ואתם תגדירו ונשיים ביחד" כדי להגדיר קרן וקטע -- זה עבד היטב -- היו רעיונות יפים וההגדרות היו טובות ומגוונות -- גם הצעות לא טובות טופלו -- והילדים ראו אותי בודק את ההגדרות שלהם עם דוגמאות נגדיות. הסברתי מהי דוגמה נגדית ואיך אפשר להשתמש בדוגמאות נגדיות כדי להפריך טענות וכדי להראות שההגדרות אינן מספיק הדוקות ואינן מספיק מדוייקות -- לא הראיתי להם מתי יודעים שהגדרה היא מדוייקת ואין מדוייקת ממנה (הם גם לא שאלו -- אולי בפעם אחרת) -- הסברתי להם שהתהליך של הצעות ובדיקתן ונסיון להפריכן הוא תהליך מקובל במדע ושבאמצעים דומים מזקקים נסיונות להגדרה עד שמגיעים לניסוחים פשוטים עם מינימום מידע וללא חפיפות וללא יתירות כדי להגדיר מהות.

לסיום הזכרתי לתלמידים להביא סרגל ,מד זוית ומחוגה, אספנו את הלוחות המחיקים שהוחזרו אליי ונפרדנו לשלום עד לפעם הבאה.

המורה,

שלמה יונה

שיעור מספר 1: על הצורך במושגי יסוד

שיעור מספר 1: על הצורך במושגי יסוד  השיעור התקיים ביום שישי, 11 במרץ 2011, ה' באדר ב' ה'תשע"א

התלמידים הגיעו אל הכתה ושמעו על המורה ועל הסדנה:

[...] נלמד לחשוב ולהבין תופעות בעולם. לשם כך נשתמש במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט כבמגרש משחקים וכמעבדה כדי ללמוד עקרונות ורעיונות שאותם נוכל להפעיל ולנסות על בעיות שונות בעולם. לפעמים התרגום מהמתמטיקה לבעיה בעולם וההיפך קלה ולפעמים היא קשה. [...] נפתח צורת חשיבה באמצעות תרבות ושפה כאשר המתמטיקה משמשת לנו גם כדגם וגם ככלי עבודה.

[להורים ולמורים: אפשר לקרוא על עקרונות ההוראה ברשימה הזאת ועל המורה ברשימה הזאת] 

שאלתי את התלמידים על אילו נושאים הם למדו ולומדים במתמטיקה ומדוע לדעתם הם לומדים את זה. שאלתי אותם על השימושים של מה שהם לומדים. השיחה קלחה ובמהלכה הרגלתי את התלמידים לכמה הרגלים תרבותיים בכתה בתקשורת שבינינו, כגון:

• פנייה אל התלמידים בשמם הפרטי
• חזרה בקול על שמו של תלמיד שאמר דבר מה וחזרה על דבריו במילים אחרות
• ביאור מושגים
• לשאול למה הכוונה כאשר אין מבינים למה הכוונה
• להשתמש במונחים מדוייקים וברורים
• השיחה אינה רק בין התלמידים לבין המורה אלא במליאה -- הדיון מונחה על ידי המורה
• הסבר או מענה אינם מגיעים רק מהמורה: המורה מבקש או נותן רשות לתלמידים להסביר ולפרש לתלמידים אחרים
• מותר, רצוי והכרחי לבקש הסברים
• טענות יש לזהות ולהבדיל מעובדות
• טענות יש להוכיח או לבדוק מאוחר יותר, לפי הצורך

היתה לנו שיחה מרתקת על עובדות וטענות ועל הדומה והשונה בין טענה לעובדה. דיברנו על הצורך בהוכחת טענות ובדרכים לבדיקה, לחקירה ולאישוש. שוחחנו על אופנים להוכחה והגענו למסקנה שיש צורך בהגדרות ברורות.  הבנו שכאשר רוצים להסביר מהו דבר מסוים נאמר שאנו מגדירים אותו.  בעיקר התרשמתי מהבחנה של אחד התלמידים שהביע חשש שיש קושי להוכיח כל דבר בעולם -- שכן תמיד אפשר לבקר את אופן ההוכחה ולדרוש להגדיר את התהליך ואת המושגים שיש בהם שימוש בהוכחה -- הוא נחרד: "אז אי אפשר להוכיח שומדבר!" -- ההערה וההבחנה היו במקומן -- הוא עלה על משהו יסודי מאוד במתמטיקה! מכאן הדרך היתה קצרה להרגיש שנדרשים מושגי יסוד שבלעדיהן אין לנו באמצעות מה להגדיר ואין משמעות להגדרות.  היתה טענה בכתה שצבע החולצה שלי אדום ואז ביקשתי מהתלמידים להסביר לי מה הם רואים ומה הם חושבים על הטענה והאם הסכמה בין כולם כמוה כהפיכת הטענה לעובדה. הרעיונות של התלמידים היו מצויינים. ביקשתי מהתלמידים לומר מה הם רואים ולאט לאט זרמו הצעות מעניינות ומפתיעות על הפרטים הויזואליים, על הרכב החולצה ואפילו הגענו עד למולקולות לאטומים ולחלקיקים שמהם אטומים מורכבים. כמובן שכל אלה חורגים מנושא השעור אז לאחר הסבר קצר על כל מושג שהוצג -- מפי התלמידים בעצמם -- ולאחר כמה חיבורי קצוות של הנאמר על ידי המורה (כמו העמדת פרטים על דיוקם בנוגל לאישים, תקופות ושימושים) שאלתי את התלמידים על מושגי יסוד בגיאומטריה.

לאחר דיון מעניין לא פחות הרשימה שלנו כללה:

• נקודה
• ישר
• מישור
• מרחב

הגענו אל הרשימה לאחר שחשנו קושי בהגדרת המושגים הללו. התסכול והמבוכה של התלמידים לא ארכו זמן רב כי הקראתי להם נסיונות הגדרה של מושגי יסוד אלה מתוך מילונים ידועים וספרי לימוד מתמטיים ידועים -- המבוכה התחלפה בתמהון ובצחוק -- הבנו שלא רק להם התלמידים קשה להגדיר אלא שהכול מסתבכים -- הסיבה: מדובר במושגי יסוד -- אין להם באמצעות מה להיות מוגדרים. הרי מושגי היסוד בעצמם משמשים אבני בניין התחלתיוית להגדרת שאר המושגים.

במהלך השיעור הזכרנו גם יחידות מידה ואת הצורך בהן.

התלמידים התבקשו להגיע לשיעורים הבאים עם מחברת משובצת, כלי כתיבה, סרגל, מחוגה ומד זוית.

סיימנו בברכת חג פורים שמח, שכן המפגש הבא נדחה בשבוע בגלל חגיגות הפורים בבית הספר.

המורה,

שלמה יונה

על אודות המורה

מי מלמד את הילדים שלכם לאחר שעות הלימודים בסדנת המתמטיקה?

שלמה יונה מלמד בסדנת המתמטיקה בבית הספר עמל בכפר יונה את קבוצת תלמידי כיתות ו' שנבחרו על ידי הנהלת בית הספר. ההוראה בהתנדבות מלאה ולאחר סיום יום הלימודים.

אני תושב כפר יונה. שלושת ילדיי לומדים במערכת החינוך בכפר יונה. לפרנסתי אני מפתח אלגוריתמים ותוכנה בחברת אאוטבריין. השכלתי האקדמית היא במדעי המחשב (תואר שני) ובהנדסת מחשבים ותוכנה (תואר ראשון) ויש לי גם תעודת הוראה במתמטיקה. מעת לעת ולפי יכולתי אני מלמד מתמטיקה בהתנדבות בבתי ספר יסודיים ועל יסודיים ומדריך הורים כיצד לעזור לילדיהם בשעורי הבית. בכל הקשור להוראה אני נהנה מייעוץ מהשורה הראשונה מאשתי, מיכל, שמרכזת את לימודי המתמטיקה בתיכון איש שלום בכפר יונה ומהמורה הוותיקה, מחברת ספרי עיון בחינוך וחומרי לימוד  תלמה גביש שייסדה את  העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול שבה גם אני חבר.

המורה,

שלמה יונה

על אודות הסדנה והאני מאמין של המורה

מידי יום שישי לאחר סיום הלימודים נפגשים תלמידים נבחרים מכיתות ו' כדי להשתתף בשיעורי העשרה במתמטיקה. ההוראה בהתנדבות מלאה.

העשרה יכולה לבוא לידי ביטוי באופנים רבים.

הרעיון הוא להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדוייקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים.

ההצגה אינה תלושה מהמציאות. נהפוך הוא. כל נושא וכל מושג מקושר לחיי היום-יום, להסטוריה, למדע ולשימושים רגילים. כל עקרון שמובן ומוסבר בהקשר מתמטי מסויים בודקים היכן הוא מופיע במקומות אחרים ובתחומים אחרים במתמטיקה וגם בחיים. יש שימוש בתיווך לכוונה ולהדדיות, תיווך מעבר אל (טרסצנדנטיות) ותיווך למשמעות. אין עניין שהוא מופשט ובאויר ואין לו משמעות ואין לו קשר -- ואין נושא שנלמד שאיך לו שימוש גם מחוץ להקשר שבו הוא נלמד. המטרה היא להרגיל את הלומדים לחפש כוונה ומשמעות בחומר שהם לומדים גם מחוץ לשעורים הללו -- ולהתעקש על הבנה ועל הגדרות מסודרות ועל דיוק.

אילתורים ועמימות ויצירתיות יפים הם לאחר שהדיוק והעקרונות מובנים ומסודרים -- את החופשיות ביצירתיות ואת היופי שבה אפשר לראות בהשוואה למסודר ולמדוייק ולאחר שיש הבנה של הבסיס. יצירתיות היא פריצה ממסגרות בעוד שחינוך הוא הכנסה למסגרת. אנו נלמד לפרוץ מסגרות לאחר שבנינו אותן והבנו אותן ואת שימושיהן ואת עקרונותיהן. כך נעשה סדר בבלאגן.

הלימוד הוא מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף המופשט. כך התלמידים יבנו להם מודל מנטלי ברור של המושגים.

בשיעורים שלנו נשתמש בגיאומטריה בתור מעבדה או כארגז חול כדי לשחק וכדי לנסות ולהתנסות בסביבה פשוטה ומוגדרת היטב שיש לה שפה וחוקים וכללים ותהליכים. נשתמש בעקרונות שנלמד בגיאומטריה כדי להבין היכן הם מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה, במדע ובחיי היומיום.

הגיאומטריה היא המקום שבו אפשר לקשר בדרך הטובה ביותר בין היד, העין והחשיבה. בגלל ריבוי המושגים, זהו גם המקום שבו אפשר ללמוד היטב מושגים של מיון ושל היסק. זהו גם מקום לביצוע חישובים שמתקשרים עם המחשות ויזואליות.

העקרונות בהוראה הם:

* שיטתיות -- בניית הדברים על פי הסדר הנכון

* שפה מתמטית -- שימוש שפה מדוייקת וניסוחים מפורשים

* התנסות ישירה -- בניות בסרגל ובמחוגה: כדי לחבר את היד עם העין, תחילה בסרגל בלבד ואחר כך בשילוב עם המחוגה. התנסות בבניות מחברת בין המושגים, ההגדרות והמשפטים למודל אותו הם מתארים. מי שלומד לתאר בניות ולמלא אחר הוראות בנייה מיטיב להמליל ולנסח מושגים.

* מהמוחשי לציורי ואז ורק בסוף למופשט -- בנייה מדורגת של ההפשטות לטובת יצירת מודל מנטלי נכון ויעיל

* דירוג והדרגתיות-- כל מקרה של קושי גורר טיפול ונסיגה למקרים פשוטים יותר, כדי לבנות מעין מדרגות שיגשרו מעל לפער

* העברה ומשמעות -- קשר למציאות: שימוש באותם העקרונות בנושאים אחרים

* הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות

* מצא את השגיאה -- כל תלמיד ותלמידה מוזמנים ונדרשים להביע דעה ולענות ולהשתתף בדיון. מסבירים כל טענה. את הטעויות מזהים, מבינים, מתקנים -- ומהתהליך הזה לומדים. אין לעג ואין בושה -- למעשה, מתשובות שאינן מדוייקות ומטעויות לומדים לפעמים הרבה יותר מאשר מרצף מושלם של תשובות נכונות "מהספר".

* העקרונות באים מהילדים מתוך דיון כתתי  ומתוך התנסות

בגיאומטריה, כאשר מגיעים לשלב ההוכחות, צריכים המושגים להיות כבר נהירים. לשלב הדדוקטיבי בגיאומטריה צריכים לקדום שלבים של היכרות ושל בנייה. בתוכניות הלימודים בגיאומטריה של משרד החינוך לחטיבות הביניים נאלצים לשלב את המושגים ואת ההוכחות בבת אחת. רצוי להימנע ממצב שבו התלמידים צריכים בעת ובעונה אחת להבין את המושגים, ועוד בכמה רמות שונות: זיהוי, ציור, המללה, ובאותה עת גם להשתמש בהם בהוכחות דדוקטיביות.

התלמידים בשיעורי הסדנה ירוויחו מהיכרות מוקדמת ומוחשית עם המושגים, הבנה עמוקה ובניית מודל מנטלי נכון שלהם -- כך שלכשיגיעו בחטיבת הביניים להוכחות דדוקטיביות בגיאומטריה, ייקל עליהם לדמיין את הבעיות באופן נכון, יוכלו להשתמש במושגים כראוי, וגם תהיה להם אינטואיציה נכונה לגבי בניות עזר.

שיהיה לכולנו בהצלחה.

המורה,
שלמה יונה